Álgebra de Lie

En matemáticas, particularmente en álgebra y análisis, un álgebra de Lie (honra el trabajo y la memoria deSophus Lie) es un sistema matemático que involucra objetos geométricos enlazando grupos de Lie y variedades diferenciables.

Marco definitorio

Un álgebra de Lie g es un K-espacio vectorial (siendo K el cuerpo de los los números reales o complejos) junto con una operación binaria [·, ·] : g × g → g, llamada el corchete de Lie, que satisface las condiciones siguientes:

• Es bilineal, es decir, [a x + b y, z] = a [x, z] + b [y, z] y [z, a x + b y] = a [z, x] + b [z, y] para todo a, b en K y todo x, y, z en g.

• Satisface la identidad de Jacobi, es decir, [[x, y], z] + [[z, x], y] + [[y, z], x] = 0 para todo x, y, z en g. O sea la suma de los productos asociados de 3 elementos de g, considerados en ciclo antihorario es 0.

• Para todo x en g[x, x] = 0 .

Reparemos que de la primera y la tercera propiedades conjuntas, se concluye [x, y] = − [y, x] para todo x, y en g es anticonmutativa. Tengamos presente también que la multiplicación determinada por el corchete de Lie no es, en general, asociativa, es decir, [[x, y], z] no necesariamente es igual a [x, [y, z]].

Definición alternativa

Sea E un espacio vectorial n-dimensional sobre un campo K- en lo que sigue el campo de los números reales o complejos- en que se ha definido una operación de composición de vectores (sic): a cada par de vectores le hace corresponder un vector v=[u, w], llamado conmutador de los vectores u y w. Esta operación de la conmutación verifica las siguientes condiciones:

• [au +bw, v] = a[u,v]+b[w,v] donde a y b son escalares
• [u, w] + [w, v] = 0
• [u, [v, w]] + [v, [w, u]] + [w, [u, w]] = 0
• Todo K-espacio vectorial con la operación conmutación de la forma anterior se denomima álgebra de Lie sobre el campo K. Si K = R es el campo de los números reales se llamará álgebra real de Lie; si K =C, el campo de los números complejos se nombrará álgebra compleja de Lie
• El álgebra de Lie de un grupo de Lie, según una proposición, es siempre real, la nombraremos llanamente álgebra de Lie.
• Si [v, w] = 0 para cualesquiera dos vectrores v y w de E, el álgebra E se llama conmutativa

Ejemplo

• Del espacio tridimesional R³ con el producto vectorial v×w como el conmutador de los vectores v y w se obtiene el álgebra real de Lie R³.

Verbigracia

• Cada espacio vectorial se convierte en un álgebra de Lie abeliana trivial si definimos el corchete de Lie como idénticamente cero.

• El espacio euclidiano R³ se convierte en un álgebra de Lie con el corchete de Lie dado por el producto vectorial.

• Si se da un álgebra asociativa A con la multiplicación * , se puede dar un álgebra de Lie definiendo [x, y] = x * y − y * x. esta expresión se llama el conmutador de x y y.

• Inversamente, puede ser demostrado que cada álgebra de Lie se puede sumergir en otra que surja de un álgebra asociativa de esa manera.

• Otros ejemplos importantes de álgebras de Lie vienen de la topología diferencial: los campos vectoriales en una variedad diferenciable forman un álgebra de Lie infinito dimensional; para dos campos vectoriales X y Y, el corchete de Lie [X, Y] se define como:

[X, Y] f = (XY − YX) f

para cada función f en la variedad (aquí consideramos los campos vectoriales como operadores diferenciales que actúan sobre funciones en una variedad). (La generalización adecuada de la teoría de variedades debiera determinar ésta como el álgebra de Lie del grupo de Lie infinito dimensional de los difeomorfismos de la variedad).

El espacio vectorial de los campos vectoriales izquierdo-invariantes en un grupo de Lie es cerrado bajo esta operación y es por lo tanto un álgebra de Lie de dimensional finita. Uno puede pensar alternativamente en el espacio subyacente del álgebra de Lie de un grupo de Lie como el espacio tangente en el elemento identidad del grupo. La multiplicación es el diferencial del conmutador del grupo, (a,b) |-> aba⁻¹b⁻¹, en el elemento identidad.

Como ejemplo concreto, consideremos el grupo de Lie SL(n, R) de todas las matrices n-por-n a valores reales y determinante 1. El espacio tangente en la matriz identidad se puede identificar con el espacio de todas las matrices reales n-por-n con traza 0 y la estructura de álgebra de Lie que viene del grupo de Lie coincide con el que surge del conmutador de la multiplicación de matrices.

Morfismos y subsistemas algebraicos

Un homomorfismo φ : g -> h entre las álgebra de Lie g y h sobre el mismo cuerpo de base F es una función F-lineal tal que [φ(x),φ(y)] =φ([x, y]) para todo x y y en g. que la composición de tales homomorfismos es otra vez un homomorfismo, y las álgebras de Lie sobre el cuerpo F, junto con estos morfismos, forman una categoría. Si tal homomorfismo es biyectivo, se llama un isomorfismo, y las dos álgebras de Lie g y h se llaman isomorfas. Para todos los efectos prácticos, las álgebras de Lie isomorfas son idénticas.

Una subalgebra del álgebra de Lie g es un subespacio lineal h de g tal que [x, y] ∈ h para todo x, y ∈ h. i.e. [h,h] ⊆ h. La subalgebra es entonces un álgebra de Lie.

Un ideal del álgebra de Lie g es un subespacio lineal h de g tales que [a, y ] ∈ h para toda a ∈ g y y ∈ h. i.e. [g, h] ⊆ h. Todos los ideales son subalgebras. Si h es un ideal de g, entonces el espacio cociente g/h se convierte en una álgebra de Lie definiendo [x + h, y + h] = [x, y] + h para todo x, y ∈ g. Los ideales son precisamente los núcleos de homomorfismos, y el teorema fundamental sobre homomorfismos es válido para las álgebras de Lie.

Clases de álgebras de Lie

Las álgebras de Lie reales y complejas se puede clasificar hasta un cierto grado, y esta clasificación es un paso importante hacia la clasificación de los grupos de Lie. Cada álgebra de Lie real o compleja finito-dimensional se presenta como el álgebra de Lie de un único grupo de Lie simplemente conexo real o complejo (teorema de Ado), pero puede haber más de un grupo, aún más de un grupo conexo, dando lugar a la misma álgebra. Por ejemplo, los grupos SO(3) (matrices ortogonales 3×3 de determinante 1) y SU(2) (matrices unitarias 2×2 de determinante 1), ambos dan lugar a la misma álgebra de Lie, a saber R³ con el producto vectorial. Un álgebra de Lie es abeliana si el corchete de Lie se anula, es decir [x, y] = 0 para todo x y y. Más generalmente, un álgebra de Lie g es nilpotente si la serie central descendente

g ⊇ [g, g] ⊇ [[g, g], g] ⊇ [[[g, g], g], g] ⊇...

se convierte eventualmente (angl. por más temprano o más tarde) en cero. Por el teorema de Engel, un álgebra de Lie es nilpotente si y sólo si para cada u en g, la función ad(u): g -> g definida por

ad(u)(v) = [u, v]

es nilpotente. Más generalmente aún, un álgebra de Lie g es soluble si la serie derivada

g ⊇ [g, g] ⊇ [[g, g], [g, g]] ⊇ [[[g, g], [g, g]],[[g, g], [g, g]]] ⊇ ...

se convierte eventualmente (angl. por más temprano o más tarde) en cero. Una subalgebra soluble máximal se llama una subalgebra de Borel.

Un álgebra de Lie g se llama semi-simple si el único ideal soluble de g es trivial. Equivalente, g es semi-simple si y solamente si la forma de Killing K(u, v) = tr(ad(u)ad(v)) es no-degenerada; aquí tr denota el operador de traza. Cuando el cuerpo F es de característica cero, g es semi-simple si y solamente si cada representación es totalmente reducible, esto es, que para cada subespacio invariante de la representación hay un complemento invariante (teorema de Weyl). Un álgebra de Lie es simple si no tiene ningún ideal no trivial. En particular, un álgebra de Lie simple es semi-simple, y más generalmente, las álgebras de Lie semi-simples son suma directa de simples. Las álgebras de Lie complejas semi-simples se clasifican a través de sus sistemas de raíz.

Fuentes

• L. S. Pontriaguin, Académico AC URSS: Grupos continuos , Editorial URSS, Moscú, 1994