Bifurcaciones de ecuaciones diferenciales

Bifurcaciones de ecuaciones diferenciales

En matemática, bifurcaciones de ecuaciones diferenciales son cambios cualitativos en la estructura del sistema dinámico descrito por tal ecuación diferencial cuando se varia uno o mas parámetros de la ecuación.

Historia

El nombre "bifurcación" (abreviado “bif'n”) fue introducido por primera vez por Henri Poincaré en 1885 en el primer documento de matemáticas que muestran un comportamiento de ese tipo. Poincaré también nombró varios tipos de puntos estacionarios y los clasificó.

Teoría

La teoría de bifurcaciones es un campo matemático centrado en el estudio de los cambios en la estructura cualitativa o topológica del comportamiento de un conjunto de ecuaciones. La teoría tiene una importancia práctica en ingeniería y física.

En un sistema dinámico, una bifurcación es un período de duplicación, cuadruplicando, etc., que acompaña la aparición de caos, o viceversa. Representa la aparición repentina de una solución cualitativamente diferente para un sistema no lineal cuando algún parámetro es variado.

La teoría de la bifurcación estudia el comportamiento de familias de soluciones de ecuaciones diferenciales, como por ejemplo curvas integrales de un campo vectorial. En referencia a sistemas dinámicos, una bifurcación se da cuando una pequeña variación en los valores de los parámetros de un sistema causa un cambio cualitativo o topológico. Las bifurcaciones pueden producirse tanto en sistemas continuo o discreto.

Introducción

Hay muchos casos de bifurcaciones, y se dividen entre dos tipos o clasificaciones: bifurcaciones locales y bifurcaciones globales. Bifurcaciones pueden existir en una, dos, … etc dimensiones de sistemas de ecuaciones diferenciales (espacio vectorial de cualquier base). Como dicho, bifurcaciones ocurren en ambos sistemas continuos(descritos por ecuación diferencial ordinaria, ecuaciones diferenciales con retraso, ecuación en derivadas parciales, ecuación diferencial lineal o no lineal, y ecuaciones diferenciales de varios grados) y sistemas discretos (descritos por mapas).

Cuando los parámetros se cambian, las bifurcaciones que aparecen pueden ser estables o inestables, y también pueden ser periódicos al llegar a la estabilización o mientras que están en inestabilidad. Aunque existe un infinito número de maneras de que un sistema cambie (via su parámetros), solo hay varios tipos de cambios estables estructural. René Thom propuso siete tipos de catástrofes elementales en las tres dimensiones de espacio y la dimensión de tiempo. Las siete catástrofes son el pliegue, la cúspide, la mariposa, la cola de golondrina, el ombligo elíptico, el ombligo hiperbólico y el ombligo parabólico. Un estado especial que es estable en el sistema local pero que puede llegar a ser inestable en la presencia de difusión se llama la inestabilidad de Turing, nombrado por el matemático Alan Turing.

Ciclo límite

Importante en los fenómenos de bifurcaciones es el concepto de un ciclo límite. Un ciclo límite es una trayectoria cerrada y aislada; esto significa que las trayectorias de sus vecinos no están cerradas, los vecinos se alejan o se acercan al ciclo límite. Se distinguen en ser aislados. Ciclos límite sólo puede ocurrir en sistemas no lineales. Sistemas lineales tienen trayectoria cerradas pero no son aislados.

Un ciclo límite estable es aquel cual atrae a todas las trayectorias vecinas. Un sistema con un ciclo límite estable puede presentar oscilaciones auto-sostenida, como por ejemplo en los sistemas dinámicos biológicos con dos dimensiones.

En el caso en que todas las trayectorias de vecinos se acercan al ciclo límite como el tiempo tiende a infinito, se denomina un ciclo límite estable o atractivo. Si las los vecinos acercan con el tiempo tiende a infinito negativo, entonces se trata de un ciclo límite inestable.

También hay límite de ciclos que no son ni estable, por ejemplo, un vecino puede acercarse al ciclo límite desde el exterior, pero el interior del ciclo límite es abordado por otros ciclos. Ciclos límite estables son ejemplos de atractores, y como se ha dicho, implican oscilaciones auto-sostenida. En este caso la trayectoria cerrada describe comportamiento periódico estable del sistema, y ​​cualquier pequeña perturbación de esta trayectoria cerrada hace que el sistema vuelva al estado original...como el ritmo del corazón después de correr.

El ciclo límite es de orbital estable si el primer coeficiente de Lyapunov es negativo y la bifurcación es supercrítico. De lo contrario, es inestable y la bifurcación es subcrítico. Bifurcación subcrítico puede ser peligroso, discontinuo, se le llaman ("hard") porque muchas veces no tiene attractor (no tiene donde ir). Mientras que la bifurcacion supercrítico no son peligroso, es continuo, y se dice que son bifurcaciones "soft".

Linealización

El proceso analítico de linealización es integral para analizar los puntos fijos. Se examina la dinámica cerca de un punto fijo, pero no en el punto. Por ejemplo, se produce una perturbación por la "izquierda" del punto y se ve cómo se comporta la función, se converger o se divergir? Esto es una forma de determinar la estabilidad. Se hace lo mismo por la "derecha" del punto fijo. La palabra "linealización" se usa porque durante el proceso analítico, se ignora términos de orden superior (> 2) de la serie de Taylor de la función.

Teorema: Suponga que x_o es un punto de equilibrio de la ecuación diferencial dx / dt = f (x) donde f es una función continuamente diferenciable. Entonces,

1.) si df(x_o)/dt < 0, entonces x_o es un "sink" (pozo);

2.) si df(x_o)/dt > 0, entonces x_o es un "source" (fuente);

3.) si df(x_o)/dt = 0, entonces se necesita mas información para determinar el tipo de punto.

Bifurcaciones

La estructura cualitativa del flujo en el campo de vectores puede cambiar cuando los parámetros son variados: en particular, puntos fijos pueden ser creados o destruidos, o su estabilidad puede cambiar. Estos cambios cualitativos en la dinámica son llamados bifurcaciones, y los valores de los parámetros en los que se producen se llaman punto de bifurcación.

Definición

La definición de una bifurcación no es exacta, en si se puede decir como el Capitán Hector Barbossa en la película Piratas del Caribe cuando dijo: "Y en tercer lugar, las reglas son más directrices que son definiciones". En general, una bifurcación se refiere a un cambio cualitativo en el comportamiento de un sistema dinámico con algún parámetro de la que depende el sistema cuando varía continuamente.

Definición: Un punto (x₀, C) es un punto de bifurcación de equilibrio si el número de soluciones de la ecuación f (x; C) = 0 (x siendo el variante y C el parámetro), y si en cada entorno de (x₀, C), no es constantemente independiente del parámetro C.

Bif'n locales

Los casos locales incluyen pero no se limitan a bifurcación tridente (donde sale uno nuevo, llamado en ingles “pitchfork”), bifurcación silla-nodo (donde desaparece, llamado tangencial, o “saddle-node” o "fold" o "tangent" en ingles), bifurcación transcritica (donde chocan), bifurcación vertical, y bifurcación de Hopf en mínimo de dos dimensiones, y bifurcación de zip. Bifurcaciones de Hopf tienen orbito periódico con ciclos límite, y se puede calcular sus promedios con expansiones asintóticas de la radio y frecuencia. Bifurcaciones tridente, como bifurcaciones de Hopf, pueden ser supercríticas o subcríticas, dependiendo de la señal de la tercera derivada. Bifurcaciones se encuentran analizando el sistema linealizado (determinante de la matriz jacobiana) en el punto de bifurcación.

Resumen de varios ejemplos de bif'n locales:

• Bifurcación silla-nodo
• Bifurcación transcrıtica
• Bifurcación tridente
• Bifurcación período de duplicación
• Bifurcación de Hopf
• Bifurcación de zip

Ejemplo 1

Un ejemplo de dimensión 1 (supercrítico). Bifurcaciones de las catástrofes pliegue o cúspide. La ecuación diferencial:

dx/dt˙ = 4x − x³ + C

describe un estructura de un sistema dinámico físico, donde C es el parámetro que se varia para encontrar un cambio cualitativo (que puede ser estable o inestable (o viceversa) de inestabilización o estabilización) en el sistema dinámico.

Bif'n Hopf

Definición de una bifurcación de Hopf es la aparición o la desaparición de una órbita periódica a través de un cambio local en las propiedades de estabilidad (parámetro) de un punto de equilibrio (o punto crítico, valor donde derivada es cero). Es decir, la bifurcación de Hopf es un punto crítico en el que la estabilidad de un sistema cambia y surge una solución periódica. Tabor (1989), lo dice con otras palabras: es la bifurcación de un punto fijo a un ciclo límite. Weisstein (2004), mas o menos lo repite: un bifurcación (cambio) de un punto fijo a un ciclo límite. La bifurcación de Hopf también se conoce como bifurcación de Poincaré-Hopf-Andronov (Henri Poincaré, Eberhard Hopf, y Aleksandr Andronov).

El teorema de la bifurcación de Hopf usa un par de números complejos (que son puntos conjugados) como condición en la que se produce el fenómeno de bifurcación de Hopf.

Teorema: Sea J_o el Jacobiano de un sistema dinámico evaluado en un punto de equilibrio, y que se suponga que todos los valores propios (eigenvalores) de J_o tienen partes reales que son negativas, excepto un par conjugado no-cero puramente imaginario, entonces una bifurcación de Hopf surge cuando este par de eigenvlaores cruzan el eje imaginario por causa de variación del parámetro.

Ejemplo 2

Un ejemplo de dimensión 2 (subcrítico), las ecuaciones diferenciales:

dx/dt = A –CX – X + X²Y;

dy/dt = CX – X²Y

donde C es el parámetro que se varia para observar un cambio cualitativo (en este ejemplo sera un bifurcación de Hopf) en el sistema dinámico (que en este caso es una reacción química).

Los puntos de equilibrios del sistema de las ecuaciones diferenciales son calculado resolviendo las ecuaciones:

a – cx – x + x²y = 0;

cx - x²y = 0

sumando las dos ecuaciones resulta en x = a

Así que el único punto de equilibrio es (a, c/a)

Para determinar la estabilidad del sistema se usa el Jacobiano:

D[f(x,y)] = | D_(1,1) = -c-1+2xy; D_(1,2)= x²; D_(2,1)= c-2xy; D_(2,2) = -x² |

D[f(a, c/a)] = | D_(1,1) = c-1; D_(1,2) = a²; D_(2,1)= -c; D_(2,2) = -a² |

Traza (D[f(a, c/a)]) = - a² + c – 1; estable espiral si la traza es negativo, sino inestable

Det (D[f(a, c/a)]) = a²

Como el determinante siempre es positivo, nunca cero, el punto de equilibrio nunca es silla-nodo.

cuando a = 2, c < a² + 1, c < 5 estable, asi que no hay ciclos límite;

cuando a = 2, c > 5 si hay ciclos límite porque el espiral se aleja de cero (Figura 2).

Asi que el punto c = a² + 1 es un bifurcación de Hopf y es subcrítico.

Para demostrar que existe una bifurcación de Hopf use la teorema de la bifurcación de Hopf (que los valores propios son puro imaginarios y no nulo). En este ejemplo también es posible en la presencia de difusión tener inestabilidad de Turing.

Se le recuerda que el ciclo límite es de orbital estable si el primer coeficiente de Lyapunov es negativo y la bifurcación es supercrítico. De lo contrario, es inestable y la bifurcación es subcrítico.

Este ejemplo demuestra el “Brusselator”, que es un tipo de reacción-difusión que es autocatalítica (un proceso mediante el cual un compuesto químico induce y controla una reacción química sobre sí mismo). El Brusselator es una reacción química que es oscilante y no lineal (por ser autocatalítica) y fue polémico en los 1900 y pico entre químicos. Fue propuesto por Ilya Prigogine en la Universidad Libre de Bruselas. El nombre es un acrónimo de Brussels (‘Bruselas’) y oscillator (‘oscilador’). La "más pequeña reacción química con bifurcación de Hopf" fue encontrado en 1995 en Berlín, Alemania.

Asíntota

Una expansión de serie asintótica, o expansión de Poincaré, es una serie formal de las funciones que tiene la propiedad de que el truncamiento de la serie después de un número finito de términos proporciona una aproximación a una función dada como argumento de la función tiende hacia un punto determinado y con frecuencia infinita.

Una serie formal es una generalización de un polinomio, donde se le permite ser infinito el número de términos; esto implica renunciar a la posibilidad de sustituir la variable en el polinomio con un número arbitrario.

Se puede derivar expansiones asintóticas a las soluciones de ciclo límite debido a una bifurcación de Hopf, como por ejemplo, en sistemas de reacción químico ilustrado.

Bif'n globales

Casos globales incluyen pero no se limitan a bifurcación de conexión heteroclina, bifurcación de conexión homoclínica, bifurcación de período infinito, y bifurcación Takens-Bogdanov,. Los globales son más complejos y no existe una forma fácil para determinarlos .

Resumen de varios ejemplos de bif'n globales:

• Bifurcación de conexión homoclínica
• Bifurcación de conexión heteroclina
• Bifurcación Takens-Bogdanov
• Bifurcación de período infinito
• Bifurcación de cielo azul (catástrofe de mismo nombre con trayectoria periódica tiende al valor crítico sin límite, Fuller 1967)

Diagramas

Diagramas de bifurcaciones (Gráficas). Un diagrama de bifurcación de un sistema dinámico es una estratificación de su espacio de parámetros inducida por la equivalencia topológica, junto con los retratos de fase representativos de cada estrato. Las soluciones estables suelen representarse mediante líneas continuas, mientras que las soluciones inestables se representan con líneas punteadas.

Valor propio

La importancia del valor propio (o eigenvalor), el Jacobiano (matriz jacobiana), y los números complejos se puede ver en el ejemplo de la teorema de Hopf que dice que en el plano imaginario las bifurcaciones ocurren cuando los dos eigenvalores cruzan la parte derecha del plano (la parte real que es positiva). Para ser estable la traza debe negativo y el determinante positivo (condiciones necesarios). La traza, en si, es la suma de los valores propios, mientras que el determinante es producto de los valores propios. Así que claramente, cuando se buscan los fenómenos de interés sabiendo el estado estable del sistema, pues buscamos la situación donde la traza puede ser positivo o el determinante negativo.

Véase también

• Teoría del Caos