Cuerpo (matemática)

Cuerpo (matemática) Concepto: Es un anillo de división, es decir, un anillo conmutativo en el que todo elemento distinto de cero es invertible respecto del producto. Por tanto un cuerpo es un conjunto F en el que se han definido dos operación matemática, + y ·, llamadas suma y multiplicación respectivamente.

Cuerpo o campo (matemática). En álgebra abstracta es una estructura algebraica conformada por un conjunto K no vacío y dos operaciones algebraicas llamadas adición y multiplicación, que se pueden realizar entre cualesquiera dos elementos de K, y cumplen las propiedades : asociativa, conmutativa y distributiva, además de la existencia de un inverso aditivo y de un inverso multiplicativo, los cuales permiten efectuar la operaciones inversas de resta o sustracción y división (matemáticas) (excepto la división por cero); estas propiedades ya son familiares desde la aritmética de números ordinarios, pero sin mencionar su vínculo estructural con el sistema algebraico de cuerpo.

Definición como anillo particular

Un anillo F se denomina campo, si consta no solamente del 0 y en él es factible la división en todos los casos ( salvo la división por cero), determinándose ésta unívocamente, id. est, si para cualesquiera elementos p y m de F, de los cuales m no es igual a 0, existe un elemento q, y sólo uno, que satisface la igualdad: mq = p. El elemento q se llama cociente de los elementos p y m y se denota q = p/m .

El álgebra y la estructura de cuerpo

Los cuerpos son objetos importantes de estudio en álgebra, puesto que proporcionan la generalización apropiada de dominios de números, tales como los conjuntos de número racional, de número real, o de número complejo. Los cuerpos eran llamados dominios racionales.

El concepto de un cuerpo se usa, por ejemplo, al definir el concepto de espacio vectorial y las transformaciones en estos objetos, dadas por matriz (matemática), dos objetos en el álgebra lineal cuyos componentes pueden ser elementos de un cuerpo arbitrario. La teoría de Galois estudia las relaciones de simetría en las ecuaciones algebraicas, desde la observación del comportamiento de sus raíces y las extensiones de cuerpos correspondientes y su relación con los automorfismos de cuerpos correspondientes.

Propiedades de las operaciones binarias internas

F es cerrado para la suma y la multiplicación Para toda a, b en F, a + b y a * b pertenecen a F (o más formalmente, + y * son operaciones matemáticas en F)

Asociatividad de la suma y la multiplicación

• Para toda a, b, c en F, a + (b + c) = (a + b) + c y a * (b * c) = (a * b) * c.

Conmutatividad de la suma y la multiplicación

• Para toda a, b en F, a + b = b + a y a * b = b * a.
• Existencia de un elemento neutro para la suma y la multiplicación
• Existe un elemento 0 en F, tal que para todo a en F, a + 0 = a.
• Existe un elemento 1 en F diferente a 0, tal que para todo a en F, a * 1 = a.
• Existencia de elemento opuesto y de inversos
• Para cada a en F, existe un elemento -a en F, tal que a + (- a) = 0.
• Para cada a ≠ 0 en F, existe un elemento a -1 en F, tal que a * a-1 = 1.

Distributividad de la multiplicación respecto de la suma

Para toda a, b, c, en F, a * (b + c) = (a * b) + (a * c). El requisito a ≠ 0 asegura que el conjunto que contiene solamente un cero no sea un cuerpo, y de paso elimina la posibilidad de que en el cuerpo existan divisores de cero distintos de 0. Directamente de los axiomas, se puede demostrar que (F, +) y (F - { 0 }, *) son grupos conmutativos y que por lo tanto (véase la teoría de grupos) el opuesto -a y el inverso a-1 son determinados únicamente por a. Además, el inverso de un producto es igual al producto de los inversos: (a*b)-1 = a-1 * b-1 con tal que a y b sean diferentes de cero. Otras reglas útiles incluyen -a = (-1) * a y más generalmente - (a * b) = (-a) * b = a * (-b) así como a * 0 = 0, todas reglas familiares de la aritmética elemental.

Definición alternativa

Sea K un conjunto cualquiera no vacío, con dos operaciones llamadas adición (denotada con +) y multiplicación (se yuxtaponen los elementos). Ellas son:

• Conmutativas, esto es a+b=b+a; ab= ba, para dos elementos cualesquiera de K.
• Asociativas: a+(b+c) = (a+b)+c; a(bc)= (ab)c
• La ley distributiva enlaza las dos operaciones del modo siguiente: a(b+c) = ab + ac
• Es posible resolver en K, la ecuación a+x = b, para cualesquier a y b elementos de K, que tiene una raíz única x= a +(-b); que permite definir la diferencia a-b = a+(-b). La sustracción o resta permite hallar la diferencia de dos elementos de K, que siempre existe.
• Es factible resolver en K la ecuación ax = b, siempre que a no sea igual a cero. Cuya existencia se infiere de a+x = a y se denota, en este caso particular 0_a; se asume que b +0_b= b; si se prueba que 0_a = 0_b, se probará que existe un elemento 0, que hace el mismo rol que el cero de los números. De modo, que a +0, para todo a de K. La ecuación ay = a, donde a no es cero, también tiene una única solución y = 1; según esto cabe plantear am= 1, siendo m= 1/m, que permite definir el cociente a: d = a ( 1/d), con la exigencia de que d no sea cero. A d se llama divisor. La expresión a:d = q se llama cociente y la operación que nos permite hallar el cociente de dos elementos ay b, b no nulo, se llama división.

De modo que en un cuerpo se pueden realizar cuatro operaciones: la adición y su operación inversa, la resta; la multiplicación y su operación inversa, la divisíon, excepto si el divisor es cero.

Cuerpo de escalares

Se define así al conjunto de números que son elementos de un cuerpo algebráico, sea real o complejo. Otra acepción: Campo escalar o Campo de escalares.

Propiedades de los cuerpos

• Todo cuerpo es dominio de integridad
• Si (K, + , *) es un cuerpo, entonces, (K, +) y (K{0}, *) son grupos abelianos

Ejemplos de cuerpos

• Los números racionales Q = a \ b | a, b con Z, b diferentes de 0 donde está incluido el conjunto Z de los números enteros
• Los números reales R
• Los números complejos C
• El cuerpo más pequeño tiene solamente dos elementos: 0 y 1. Es denotado por F2 o Z2 y puede a veces ser definido por las dos tablas

+ 0 1 * 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 Tiene aplicaciones importantes en informática, especialmente en criptografía y teoría de la codificación.

• Más generalmente, para un número primo p, el conjunto de los números enteros módulo p es un cuerpo finito con los p elementos: esto se escribe a menudo como Zp = { 0, 1,...,p-1} donde las operaciones son definidas realizando la operación en Z, dividiendo por p y tomando el resto.

• Los números reales contienen varios subcuerpos interesantes: los números reales algebraicos, los números computables]], y los números definibles.
• Los números complejos contienen el cuerpo de números algebraicos, la clausura algebraica de Q.
• Los números racionales se pueden ampliar a los cuerpos denúmeros p-ádicos para cada número primo p.
• Sean E y F dos cuerpos con E un subcuerpo de F (es decir, un subconjunto de F que contiene 0 y 1, cerrado bajo las operaciones + y * de F y con sus propias operaciones definidas por restricción). Sea x un elemento de F no en E. Entonces E(x) se define como el subcuerpo más pequeño de F que contiene a E y a x. Por ejemplo, Q(i) es el subcuerpo de los números complejos C que consisten en todos los números de la forma a+bi donde a y b son números racionales.
• Para un cuerpo dado F, el conjunto F(x) de funciones racionales en la variable X con coeficientes en F es un cuerpo; esto se define como el conjunto de cocientes de polinomios con coeficientes en F.
• Si F es cuerpo, y p(X) es un polinomio irreducible en un anillo de polinomios F[X], entonces el cociente F[X]/<p(X)> es un cuerpo con un subcuerpo isomorfo a F.
• Cuando F es un cuerpo, el conjunto F((x)) de series formales de Laurent sobre F es un cuerpo.
• Si V es una variedad algebraica sobre F, entonces las funciones racionales V → F forman un cuerpo, el cuerpo de funciones V.
• Si S es una superficie de Riemann, entonces las funciones Función meromorfa de S → C forman un cuerpo.
• Si I es un conjunto de índices, U es un ultrafiltro sobre I, y Fies un cuerpo para cada i en I, el ultraproducto de Fi(usando U) es un cuerpo.
• Los números hiperreales forman un cuerpo que contiene los reales, más los números infinitesimales e infinitos.
• Los números surreales forman un cuerpo que contiene los reales, a excepción del hecho de que son una clase propia, no un conjunto. El conjunto de todos los números surreales con el cumpleaños menor que un cierto cardinal inaccesible es un cuerpo.
• Los nimbers forman un cuerpo, otra vez a excepción del hecho de que son una clase propia. El conjunto de nimbers con el cumpleaños menor que 2^2n, los nimbers con el cumpleaños menor que cualquier cardinal infinito son todos ejemplos de cuerpos.

Algunos teoremas iniciales

• El conjunto de elementos diferentes de cero de un cuerpo F es un grupo abeliano bajo multiplicación. Cada subgrupo finito de F es grupo cíclico.
• La característica de cualquier cuerpo es cero o un número primo. (la característica se define como el número entero positivo más pequeño n tal que n·1 = 0, o cero si no existe tal n; aquí n·1 significa n sumandos 1 + 1 + 1 +... + 1.
• Si q > 1 es una potencia de un número primo, entonces existe (salvo isomorfismo) exactamente un cuerpo finito con q elementos. Además, estos son los únicos cuerpos finitos posibles.
• Como anillo, un cuerpo no tiene ningún ideal de un anillo|ideal excepto {0} y sí mismo
• Todo anillo de división finito es un cuerpo (teorema de Wedderburn)
• Para cada cuerpo F, existe (salvo isomorfismo) un cuerpo único G que contiene a F, es elemento algebraico sobre F, y es cuerpo algebraicamente cerrado. G se llama la clausura algebraica de F.

Construyendo nuevos cuerpos de otros dados

• Si un subconjunto E de un cuerpo (F,+,*) junto con las operaciones *, + restringido a E es en sí mismo un cuerpo, entonces se llama un subcuerpo de F. Tal subcuerpo tiene los mismos 0 y 1 que F.
• Dado un cuerpo F, el cuerpo polinómico F(X) es el cuerpo de fracciones de polinomios en X con coeficientes en F, es decir, sus elementos son funciones racionales con coeficientes en F.
• Una extensión algebraica de un cuerpo F es el cuerpo más pequeño que contiene a F y una raíz de un polinomio irreducible p(X) en F [X]. Alternativamente, es idéntico al anillo factor F [X] / p(X), donde p(X) es el ideal generado por p(X).

Fuentes

• Enciclopedia Libre Universal en Español
• A. G. Kúrosch: Ecuaciones algebraicas de grados arbitrarios. Editorial Mir, Moscú (1976); traducción del ruso de Silvia Sepúlveda.