Ecuación diferencial homogénea

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Ecuación diferencial homogénea. Una ecuación g(x,y) es homogénea de grado n en sus variables independientes, si se satisface la igualdad

g(rx,ry) = rⁿg(x,y), siendo n un número entero no negativo.

Por ejemplo h(x,y) =x²y +3xy²- y³ es una función homogénea de tercer grado puesto que

h(rx,ry) = (rx)²ry+3rx(ry)²- (ry)³ = r³(x²y +3xy²- y³) = r³h(x,y).

Ecuación de grado cero

En el caso de n= 0, se tiene una ecuación de grado cero. Por ejemplo:

g(x,y)=2x³- x²y/ 3x³ + 2x²y es una función homogénea de grado cero; ya que se verifica que

g(rx, ry) = 2(xr)³- (rx)²ry/ 3(rx)³ + 2(rx)²ry =

=r³(2x³- x²y)/r³(3x³ + 2x²y) =

= 2x³- x²y/ 3x³ + 2x²y= g(x,y).

Ecuación diferencial ordinaria homogénea

Una ecuación diferencial ordinaria de la forma dy/dx = g(x,y) se denomina homogénea si g(x,y) es una función homogénea de grado cero.en sus dos variables independientes. La ecuación diferencial se puede expresar en la forma dy/dx = h(yx^-1) (1).

Introduciendo una nueva función desconocidad w= yx^-1, la ecuación (1) se asimila a la ecuación ordinaria con variables separables:

xdw/dx = h(w) -w.

Siempre que la ecuación diferencial venga indicada en la forma

M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0,

será homogénea cuando M(x,y) y N(x,y) sean funciones homogéneas del mismo grado.

Ejemplo

Resolver la ecuación

xdy/dx = (4x² - 4y²)^0.5 + y.

Resolución. Dividiendo entre x resulta

dy/dx= 2(1-(y/x)²)^0.5+(y/x)

dado que la ecuación diferencial es homogénea , efectuamos la sustitución w = y/x o de otra manera, y = wx. En ese caso derivando resulta y´ = xw´+w. Reemplazando y e y´ hallamos:

x dw/dx = 2(1-w²)^0.5 siendo x > 0. Separando las variables:

dw/(1-w²)^0.5 = 2dx/x. De donde integrando resulta

arc sen w = ln x² + ln C⁰ o bien arcsen w = ln C₀x². Usando la relación y = wx resulta

arcsen y/x = ln C x²

Bibliografía

• A. Kiseliov; M. Krasnov; G. Makárenko. Problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias. Editorial MIR, Moscú, 1987.