Geometría del tetraedro

El tetraedro es una pirámide de base triangular. Una figura elemental y la más simple de la geometría del espacio.

Definición constructiva

Consideremos los puntos A,B,C en un plano, diferentes y los tres no colineales a la vez. Sea D un punto que no está en el plano ABC. Los puntos A, B y C los unimos con D; además unimos A con B, este con C, finalmente C con A.

la unión de las regiones triangulares ABC, ABD, ACD y BCD se llama el tetraedro ABCD.[1]
  • El tetraedro es un poliedro convexo. Pues, si trazamos un plano que contiene a alguna de las regiones triangulares, todo el sólido queda en uno de los semiespacios cerrados que determina el plano de la región triangular considerada en el caso.

Elementos

  • Los puntos A, B, C y D se llaman vértices . Hay exactamente cuatro vértices. Cualesquiera de tres de ellos son coplanares; también aquellos puntos son vértices de los triángulos que forman.
  • Los segmentos AB = c, AC = b, BC = a, AD = a', BD = b', CD = c' se denominan aristas. Existen, en total, 6 aristas. Por pares: a y a', b y b', c y c' se llaman aristas opuestas.
  • Las regiones triangulares ABC, ABD, ACD y BCD se llaman caras. Un tetraedro tiene cuatro caras. Una cara y un vértice del tetraedro, que no está en tal cara, se dicen opuestos.
  • Se llama altura de tetraedro a un segmento perpendicular trazado de un vértice al plano de la cara que no lo contiene o de la cara opuesta.
  • Se denomina bialtura a un segmento que une dos aristas opuestas y es perpendicular a ellas.
  • Se llama mediana espacial (o mediana de tetraedro) al segmento que une un vértice con el centroide ( intersección de las medianas de triángulo) de la cara opuesta.
  • Una bimediana es el segmento que une los puntos medios de cualquier par de aristas opuestas.
  • Se llama plano medio al plano que contiene a una arista del tetraedro y biseca la arista opuesta.
  • Se denomina plano bisector de un ángulo diedro al plano que divide a este por la mitad.

Topología mínima

  • Sean M y N sendos puntos de dos caras cualesquiera, y no están en las aristas, sea I un punto que está entre M y N, entonces se dice que I es un punto interior del tetraedro.
  • Se llama interior del tetraedro al conjunto de todos sus puntos interiores.
  • Un punto del espacio se llama punto exterior si no está en el interior y en ninguna cara del tetraedro.

Propiedades

  • Tres aristas concurren en un vértice
  • Dos caras tiene una arista común.
  • Se cumple la característica de Euler: C+V=A+2 pues 4+4 = 6+2; aquí C= # de caras, V= # de vértices, A= # de aristas.
  • 3V = hC, donde h es altura de tetraedro y C área de la cara a la que la es perpendicular, V = volumen.
  • 3V = Ar, siendo V = volumen, A = área total y r radio de esfera inscrita, V = volumen
  • 1/r = 1/h1 + 1/h2 + 1/h3 +1/h4; aquí r, radio de esfera inscrita y 1/h1 las 4 alturas, i =1,2,3,4.
  • Cada bialtura es igual a la distancia entre las respectivas aristas opuestas.
  • Las bimedianas tienen un punto común, llamado centro de gravedad y se bisecan en este punto.
  • Las caras de un tetraedro son iguales s.s.s. sus aristas opuestas son iguales
  • Un tetraedro es regular s.s.s. sus bimedianas son bialturas
  • las medianas de un tetraedro se cortan en un punto que coincide con el centro de gravedad y se dividen ente punto en la razón 3:1.
  • El vector de posición del centroide es la media aritmética de los vectores de posición de los vértices.
  • Los planos medios de un tetraedro dividen el volumen de este por la mitad y se intersecan en su centroide.
  • Los planos bisectores se cortan en un punto común que coincide con el centro de la esfera inscrita.

Tetraedro regular

Es el que tiene sus cuatro caras que son triángulos equiláteros iguales. Sus seis aristas son iguales, o sea de la misma longitud. La altura une un vértice con el centro de la cara a la que es perpendicular. Su centro geométrico es la intersección de las cuatro alturas [2]. Al unir los centros de las 4 caras se obtiene un tetraedro que se llama dual del tetraedro primitivo.

Medidas

Área total

Área total es la suma de las áreas correspondientes de las cuatro caras.

  1. A = k2 × 30.5 ; siendo k la longitud de la arista
  2. A = (8/3)× R2 × 30.5; aquí R es el radio de la superficie esférica circunscrita, contiene los cuatro vértices
  3. A = 24 r2 × 30.5; donde r es el radio de la esfera inscrita, toca las cuatro caras
  4. A = 8 p2 × 30.5; en este caso p es el radio de la esfera tangente a las aristas [3]

Volumen

Su volumen es la tercera parte del volumen de un prisma triangular que tenga la misma base y la misma altura.

  1. V = k3 × 20.5÷12
  2. V = (8/27)×R3 × 30.5
  3. V = 8r3 × 30.5
  4. V = (8/3)p3 [4]
  5. V = (2/3)A1A2× senK ÷ a; donde K = ángulo diedro de la arista a, A1 y A2 son caras que contienen la arista a.

Baricentro

En un tetraedro regular las cuatro medianas espaciales (o medianas de tetredro) concurren en un punto llamado baricentro o centroide o centro de gravedad o centro de masas. Su distancia de este al vértice del tetraedro es 3/4 de hT y su distancia a la base (cara) es 1/4 de hT, aquí hT = altura del tetraedro regular o mediana espacial.

Fuentes

  • G. M. Bruño: "Geometría superior", Madrid 1978
  • S. B. Gashkov: "Desigualdades geométricas", Editorial URSS, Moscú 2015
  • Claudi Alsina: "Las mil caras de la belleza geométrica", RBA Libros S.A. Barcelona 2011
  • M. García Ardura: "Problemas gráficos y numéricos de geometría", Madrid 1963

Véase también

Fuentes

  1. ↑ Geometría superior de G. M. Bruño
  2. ↑ Claudi Alsina Las mil caras de la belleza geométrica Los poliedro RBA Libros S.A. Barcelona 2011
  3. ↑ M. García Ardura: Problemas...Geometría
  4. ↑ k, R, r y p denotan los mismos elementos que en área total
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