Identidades Algebraicas
| ||||||
Identidades Algebraicas o Productos Notables. Entre los más importantes se encuentran: Cuadrado de un binomio, Cubo de un binomio, Binomios conjugados, Binomios con término común, Binomios con término semejante.
Sumario
Definición
Son aquellos productos que se rigen por reglas fijas y cuyo resultado puede hallarse por simple inspección. Su denominados también "Identidades Algebraicas". Son aquellos productos cuyo desarrollo es clásico y por esto se le reconoce fácilmente
Cuadrado de un binomio
- Binomio de suma al cuadrado: Un binomio al cuadrado (suma) es igual al cuadrado del primer término, más el doble producto del primero por el segundo más el cuadrado segundo.
(a + b)2 = a2 + 2 • a • b + b2 Ejemplo: (x + 3)2 = x 2 + 2 • x •3 + 3 2 = x 2 + 6 x + 9
- Binomio de resta al cuadrado: Un binomio al cuadrado (resta) es igual es igual al cuadrado del primer término, menos el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado segundo.
(a − b)2 = a2 − 2 • a • b + b2
Ejemplo:(2x − 3)2 = (2x)2 − 2 • 2x • 3 + 3 2 = 4x2 − 12 x + 9
Binomios conjugados
Binomios conjugados o suma por diferencia
- Una suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados.
(a + b) • (a − b) = a2 − b2
Ejemplo:(2x + 5) • (2x - 5) = (2 x)2 − 52 = 4x2 − 25
Binomios con término común
- Producto de dos binomios que tienen un término común
(x + a) (x + b) = x2 + ( a + b) x + ab
Ejemplo:(x + 2) (x + 3) = x2 + (2 + 3)x + 2 • 3 = x2 + 5x + 6
Cubo de un binomio
Cubo de un binomio o Binomio al cubo
- Binomio de suma al cubo: Un binomio al cubo (suma) es igual al cubo del primero, más el triple del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo.
(a + b)3 = a3 + 3 • a2 • b + 3 • a • b2 + b3 Ejemplo (x + 3)3 = x 3 + 3 • x2 • 3 + 3 • x• 32 + 33 = x 3 + 9x2 + 27x + 27
- Binomio de resta al cubo: Un binomio al cubo (resta) es igual al cubo del primero, menos el triple del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, menos el cubo del segundo.
(a − b)3 = a3 − 3 • a2 • b + 3 • a • b2 − b Ejemplo : (2x - 3)3 = (2x)3 - 3 • (2x)2 •3 + 3 • 2x• 32 - 33 = 8x 3 - 36 x2 + 54 x - 27
Otros productos
- Trinomio al cuadrado: Un trinomio al cuadrado es igual al cuadrado del primero, más el cuadrado del segundo, más el cuadrado del tercero, más el doble del primero por el segundo, más el doble del primero por el tercero, más el doble del segundo por el tercero.
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2 • a • b + + 2 • a • c + 2 • b • c Ejemplo: (x2 − x + 1)2 = (x2)2 + (−x)2 + 12 +2 • x2 • (−x) + 2 x2 • 1 + 2 • (−x) • 1 = x4 + x2 + 1 − 2x3 + 2x2 − 2x = x4 − 2x3 + 3x2 − 2x + 1
- Suma de cubos
a3 + b3 = (a + b) • (a2 − ab + b2) Ejemplo ; 8x3 + 27 = (2x + 3) (4x2 - 6x + 9)
- Diferencia de cubos
a3 − b3 = (a − b) • (a2 + ab + b2) 8x3 − 27 = (2x − 3) (4x2 + 6x + 9)
Resumen de productos notables
A modo de resumen, se entrega el siguiente cuadro con Productos notables: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Binomio al cuadrado (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 Binomio al cubo a2 b2 = (a + b) (a b) Diferencia de cuadrados a3 b3 = (a b) (a2 + b2 + ab) Diferencia de cubos a3 + b3 = (a + b) (a2 + b2 ab) Suma de cubos a4 b4 = (a + b) (a b) (a2 + b2) Diferencia cuarta (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc Trinomio al cuadrado Cada producto notable corresponde a una fórmula de factorización. Por ejemplo, la factorización de una diferencia de cuadrados perfectos es un producto de dos binomios conjugados y recíprocamente. Ver también Álgebra http://www.geolay.com/pagehtm/algeb02.htm
