Ley conmutativa (matemáticas)

En matemáticas, la ley conmutativa o conmutatividad es una relación que gozan algunas operaciones, según la cual el efecto de accionar de dos elementos no está ligado al orden en que accionan. Esto es cierto en la adición y la multiplicación numéricas usuales, con la socorrida frase el orden de los factores no altera el producto.

La ley conmutativa de las operaciones racionales de sumar y multiplicar ya era conocida indirectamente desde la antigüedad, tomando el nombre aún a inicios del siglo XIX, época en que las matemáticas contemporáneas empezaban a formalizarse. Las sucesivas ampliaciones del concepto de número (números naturales, números enteros, números racionales, números reales) extendieron el alcance de la suma y el producto pero en todas ellas se mantiene la conmutatividad. Esta propiedad también se manifiesta en muchas otras operaciones, como la suma de vectores, polinomios, matrices, funciones reales.

En contraste la adición y la multiplicación de números, la sustracción y la división no son operaciones conmutativas. Entre las operaciones no conmutativas cabe destacar también la composición de funciones y de sustituciones, el producto de matrices, el producto de cuaternios y el producto vectorial en R3.

Definición

Sea A un conjunto no vacío y * una operación matemática definida en él, en el sentido de que en general se cumple que para todo par a, b de elementos de A, existe un elemento único c de A, tal que a*b = c; pero también se admite que en ciertas operaciones esto sea posible sólo para (a,b) y no para (b,a).

En el caso de que existan tanto a*b como b*a diremos que la operación * goza de la ley conmutativa s.s.s. a*b = b*a

Adición y multiplicación de números

La importancia fundamental de la propiedad conmutativa radica en el hecho de que la adición y la multiplicación de números naturales, los números que permiten contar los conjuntos finitos, son conmutativas. Por ejemplo:

2 + 3 =5 =3 + 2

2 · 3 =6 =3 · 2

Expresado de manera general: para cualesquiera x, y de N:

x + y = y + x

  x · y = y · x

La ampliación del sistema de los números naturales a otros sistemas numéricos: números enteros ({Z}), números racionales ({Q}), números reales ({R}), y números complejos ({C}), se hace extendiéndose las operaciones de adición y multiplicación, y de manera que éstas siguen siendo conmutativas. Por ejemplo:

2/3 / 3/4 = 4/3 + 2/3

En contraste con las operaciones de adición y multiplicación, sus respectivas operaciones inversas, sustracción y división, no son conmutativas. Esto es resultado de la definición de operación inversa:

sean a, b elementos del conjunto A y ♦ una operación en A, además sean b', elemento inverso de b y ♦' la operación inversa de ♦, diremos a ♦' b= a ♦ b'.

• Para la resta de enteros 5 - 3 = 5 + (-3) ≠ 3 + (-5) = 3-5
• En la división de racionales 5/3 : 7/8 = 5/3 x 8/7 ≠ 7/8 : 5/3 = 7/8 x 3/5.

Además no siempre es posible restar con números naturales; tampoco no siempre es factible con naturales y enteros, desde el conjunto Q de los racionales y sus superconjuntos es posible la división, sólo hay que evitar el divisor cero.

• En la tabla pitagórica de la adición y multiplicación para números dígitos los resultados de (a,b) y (b,a) son iguales y se ubican simétricamente con respecto a la diagonal principal.
• En el caso de que en la tabla de "multiplicación" de un grupo finito los "productos" sean simétricos respecto a la diagonal principal, el grupo es abeliano.

Ley conmutativa en sistemas algebraicos

• Hay los grupos abelianos o conmutativos, en los que de hecho la operación es conmutativa.
• Los anillos, los cuerpos los R-módulos y los K-espacios lineales conllevan en su estructura un grupo abeliano.
• Si la multiplicación en el anillo es conmutativo, se le nombra anillo conmutativo.
• Hay cuerpos conmutativos como Q, R; C y no lo es H de los cuaternios.

Otros usos y ejemplos de conmutatividad

• En la lógica proposicional, la conjunción, la disyunción, la doble implicación son conmutativas,
• Entre operaciones conjuntistas, la unión, la intersección y la diferencia simétrica son conmutativas.

Vida real

• En el peinado de los cabellos si empiezas por el lado izquierdo a al reves.
• Al inicio de una caminata si empiezas con con el pie derecho o con el pie izquierdo.
• al subir a un carro si primero pagas el pasaje,luego te sientas; o al revés, primero te sientas luego pagas el pasaje.

No conmutativas

• Ponerse primero el saco o la camisa.
• Apagar la computadora o salir de la edición de una página digital.
• comer un platillo o sentarse a la mesa.

Fuentes

• Álgebra moderna de Schaumm
• Álgebra abstracta de Fraleigh

Consúltese además

• Ley asociativa
• Ley distributiva distributiva
• Idempotencia
• Elemento opuesto ( elemento inverso)
• Operación inversa