Producto mixto de 3 vectores
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Producto mixto de 3 vectores: Teniendo tres vectores del espacio R3 u, v y w, es posible formar dos tipos de productos:
- Al producto vectorial de los primeros multiplicar vectorialmente por el tercero, esto es (u×v)×w que da un vector.
- Al producto vectorial de los dos primeros multiplicar, mediante el producto escalar, por el tercer vector que da un escalar, denotado (u×v).w
Definición
Dados los vectores u, v, w del espacio R3 diremos que el escalar (número real) (u×v).w es el producto mixto de ellos.
Propiedades
- Se tiene que (u×v).w = u.(v×w), de modo que el producto mixto se puede escribir uvw.
- El producto mixto uvw, geométricamente, es igual al volumen del paralepípedo construido sobre los vectores u, v, w, considerando el volumen en valor absoluto.
- Si los vectores son coplanares, y solo en tal circunstancia, el producto mixto es cero, hecho que expresa una condición necesaria y suficiente.
Los vectores u, v y v son coplanares cuando y sólo cuando su producto mixto uvw es cero.
Cálculo
Si cada uno de los vectores están dados por sus coordenadas cartesianas el producto mixto se obtiene como el determinante:
- primera fila... u1.. u2.. u3
- segunda fila... v1.. v2.. w3
- tercera fila... w1.. w2.. w3
Fuentes
- Kleténik: Geometría analítica, Editorial Mir, Moscú , 1968
- Smirnov: Curso de geometría analítica, Editorial URSS, Moscú, 2009
- Ediciones Schaumm: Álgebra Vectorial
