Radicales y exponentes racionales
Radical y exponente racional. Expresión mediante una raíz indicada o un exponente racional cuando no es posible hallar la raíz exacta.
Sumario
Ejemplos
- 1. Al calcular la longitud de la diagonal de un cuadrado de lado 2, se tiene que d2 = 22 + 22 = 8
- de donde d = rq(8) [1]. Y como no hay raíz exacta, esta expresión es un radical.
- además 8 = 23, de donde d = rq( 23) = 23/2 y estamos en el caso de un exponente racional.
- 2. Para hallar la longitud del radio de una esfera de volumen = 16, usamos la fórmula V =4pi/3 r3
- de donde r = rc(16×3÷4pi) = rc(12:pi) = (12÷pi)1/3, una fracción, de denominador irracional, elevada a un exponente racional.
Elementos
- Radical simple
cuando la raíz indicada no existe en términos de entero, tampoco hay factores que se puedan simplificar o extraer la raíz señalada.
- Así rq(2) es simple pero rq(8) no es pues 8=4x2 y rq(8) = 2rq(2)
Dado arn(k) diremos que
- a es coeficiente
- n es grado o índice es un entero positivo ≥ 2
- k es radicando o cantidad subradical, se conviene que k ≥ 2 y número entero
Apariciones naturales
- rc(2) la raíz cuadrada de 2, según las referencias surgió en los trabajo de la Escuela de Pitágoras, cuando trataban de hallar la diagonal de la diagonal de un cuadrilátero regular. Produjo una gran conmoción entre los estudioso, pues se pensaba que los números racionales gobernaban el universo.
- En el caso de un triángulo regular de lado 2, cuando se calcula su altura; se sabe que la semibase es 1, todo regido por (semibase)2 + (altura)2 = (lado)2 o s2 + h2 = l2. De donde:
- si s=1, l= 2 → 12 + h2 = 22 → h2 = 3 y finalmente h = rq(3)
Radicales semejantes
Dos radicales R y R1 son semejantes si son radicales simples que tienen el mismo grado, igual radicando pero sus coeficientes son diferentes.
- Ejemplo
-
- 3rq(4), -8rq(5)
- Grupo aditivo
Algebraicamente cada tipo de radicales semejantes, cuando sus radicandos y sus índices respectivamente son iguales, forman un grupo aditivo abeliano, donde
- elementos opuestos arn (k) y -arn(k)
- elemento neutro 0×rn(k) = 0.
- la asociatividad está ligada a la aditividad de los coeficientes
- la conmutatividad es inherente a la adición de productos especiales, donde los factores son los coeficientes y el radical rn(k)
Operaciones racionales
- Para sumar dos radicales simples y semejantes se sumán los coeficientes. Como ejemplo:
- 13rq(5) + 9rq(5) -14 rq(5) + 31rq(5) = (13+9-14+31)rq(5) = 39rq(5)
- Se pueden multiplicar dos radicales simples o no, sin embargo no necesariamente semejantes del mismo orden. Se multiplican los coeficientes y las cantidades subradicales. Puede facorizarse la cantidad subradical, si es el caso extraemos la raíz del caso y que pasa a multiplicar el producto de coeficientes. Ejemplo:
- 13rq(5) × 2rq(3) = 13×2 rq(5×3) = 26 rq(15)
- -3 rq(2)× 12 rq(8) = (-3×12)rq(2×8) = -3×12×4 = -144
Reducción a común índice
Cuando tienen diferente índice se les reduce a radicale del mismo índice, para lo cual se halla el m.c.m de los índices, luego este índice se divide entre cada índice, cuyo cociente va como exponente de su respectiva cantidad subradical. En seguida se multiplican las nuevas cantidades subradicales, bajo el índice común. Ejemplo:
- rq(5) × rc(25) = 51/2 x 251/3 =
- (53)1/6 x (252)1/3 =
- (53 x 54)1/6 = (57)1/6 = (56 x 51)1/6
- 5 por raíz sexta de 5.
Racionalización del denominador
Radicales dobles
Fuentes
- Sobel y Lerner: Älgebra
Fuentes ex Ecured
- https://www.youtube.com/watch?v=uq875zmaWxM
- https://www.youtube.com/watch?v=LYSV_cxOkFE
- https://www.zweigmedia.com/MundoReal/tut_alg_review/framesA_2B.html
Referencias
- ↑ vamos a usar rq = raíz cuadrada, rc = raíz cúbica y rn = raíz de grado n
