Topología usual de '''R'''

Topología usual de R se refiere a una de las tantas topologías que es posible construir en el conjunto R de los números reales. Para calcular el límite de una función real en un punto se requiere que este punto sea un punto de acumulación, si queremos estudiar la continuidad de un función sobre un intervalo se prefiere un intervalo cerrado, que nos dice que tal función es también continua en los extremos del intervalo. Situaciones de límite, continuidad, nos permiten generalizar estos conceptos sobre partes de la recta ( números reales) y van a adquirir roles más abstractos y generales. Por ello vamos a construir una topología de R (el conjunto de números reales), para lo cual usando intervalos abiertos y la unión de ellos, necesitamos definir nuevos conjuntos, que han de conformar una nueva estructura matemática de R.

Abierto

Llamaremos abierto a cualquiera unión de intervalos abiertos; estos satisfacen:

1. Cualquiera unión de abiertos es un abierto,
2. cualquiera intersección finita de abiertos es un abierto,
3. ∅ y R son abiertos

Topología usual

Al conjunto T_u de todos los abiertos de R, se llama Topología usual de R y al par (R, T_u) se nombra Espacio topológico de los números reales.

Cerrado

Se llama cerrado a todo complemento de un abierto; los cerrados satisfacen

1. Cualquiera intersección de cerrados es un cerrado,
2. cualquiera unión finita de cerrados es un cerrado,
3. ∅ y R son cerrados, esto fluye en función de las leyes de Augusto de Morgan.

Entorno

Se llama entorno de a, número real, toda parte que contiene un abierto que a su vez, contiene al real a.

Se denota por N(a) el conjunto de todos los entornos de a.

Un abierto es entorno de todos sus puntos.

Adherencia, interior, punto de acumulación de una parte de R

Se dice que a, elemento de R, es punto adherente de A parte de R, si

para todo entorno V de a, la intersección de V y A es no vacía.

la adherencia A^- es el conjunto de todos los puntos adherentes de A. Aun se puede decir que es el cerrado más pequeño que contiene a A.

se dice que h es punto interior de A si hay un abierto que contiene a h y esté contenido en A. El interior A^º es el conjunto de todos los puntos interiores de A. El interior de A es el conjunto abierto más grande contenido en A.

a, elemento de R, es punto de acumulación de A, si

para todo entorno V de a, la intersección de A y V es no vacía y dicha intersección es diferente de {a}

k, elemento de R, es punto aislado de A si está en A y no existe ningún entorno que lo contenga y esté contenido en A.

Ejemplo

sea el conjunto M = [3,8)U{1}

adherencia de M es [3,8]

interior de M es (3,8)

8 es un punto de acumulación de M, como lo es 5 o 3

1 es un punto aislado de M.

Caracterización de Q y de su complemento

El conjunto de todos los números racionales se designa por Q y los irracionales, complemento de Q, por Q^c, para los cuales se tiene:

Tanto Q y como R\Q= Q^c tienen su adherencia igual a R. La intersección de un entorno de un número racional con R es no vacía.

Igualmente el conjunto Q y su complemento el conjunto de los irracionales tienen su interior =∅

Cualquier número racional o irracional es punto de acumulación de cualquier intervalo abierto que lo contiene.

Exterior y frontera de una parte de R

Diremos que el punto e es punto exterior de A, subconjunto de R, si e es punto interior de l complemento; o sea hay un entorno de e, que no que no está contenido en A.

al conjunto de los puntos exteriores de A, se llama exterior de A.

Diremos que f es un punto frontera de A, si cualquier entorno de f contiene puntos del interior y del exterior del conjunto A. Se llama frontera de A a todos los puntos frontera de A.

Aplicaciones

Como ejemplo del uso de un concepto topológico, vamos a presentar una

Proposición

La sucesión (x_n) converge hacia L si, sólo si, para cada entorno V de L existe un número entero positivo m(V) tal que x_n está en V cualquiera sea n ≥ m(V) .

Como otra aplicación se propone el concepto de continuidad:

Definición

Sea f una función definida en un subconjunto S de R y con valores en R. Se dice que f es continua en el punto a si, para cualquier entorno W de f(x), el conjunto f^-1(W) es un entorno de a relativo a S.

Véase también

• Topología
• Adherencia
• Números reales
• Espacio topológico

Fuentes

• Kasimierz Kuratowski: Introducción a la teoría de conjuntos y a la topología, Editorial Vicens.Vives, Barcelona 1966
• G.Flory: Ejercicios de topología y de análisis, editorial Reverté S.A. Barcelona, 1978.
• Juan Horvath: Introducción a la topología general, Edición de la Organización de los Estados Americanos,Washington, D.C. 1965
• https://es.wikipedia.org/wiki/Topolog%C3%ADa_de_R