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Cálculo Proposicional

Cálculo proposicional
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Concepto:Se define como la ciencia que trata de los principios válidos del razonamiento y la argumentación.

Cálculo proposicional. Denominado también lógica proposicional: se define como la ciencia que trata de los principios válidos del razonamiento y la argumentación. El estudio de lógica es el esfuerzo por determinar las condiciones que justifican a una persona para pasar de una proposición dada, llamadas premisas, a una conclusión que se deriva de aquellas. Según L.García, 1990 la Lógica proposicional estudia las operaciones proposicionales y la deducción proposicional.

Es la más antigua y simple de las formas de lógica, permite representar y manipular aserciones sobre el mundo que nos rodea, a través del razonamiento, primeramente evaluando sentencias simples y luego sentencias complejas, formadas mediante el uso de conectivos proposicionales. Es diseñada para analizar ciertos tipos de argumentos, en ella las fórmulas representan proposiciones y las conectivas lógicas son operaciones sobre dichas fórmulas, capaces de formar otras fórmulas de mayor complejidad. Como otros sistemas lógicos la lógica proposicional intenta esclarecer nuestra comprensión de la noción de consecuencias lógicas para el rango de argumentos que analiza.

Proposición

Una proposición es un ordenamiento resultado de nuestra actividad pensante donde expresamos, bien la posibilidad de la ocurrencia de un hecho, o la necesidad de una acción, o una orden, un deber, una interrogante, etc.

Puede decirse que una proposición es una frase declarativa o juicio al que, podemos asignarle un valor verdadero ya sea cierto o falso. Por ejemplo la frase “El programa es de Soft”, es una proposición, a priori no puede decirse si esta proposición tiene un valor cierto o falso, pero si se parte de un contexto en que se establece unívocamente de qué programa se está hablando y además se conoce que efectivamente este es de Soft, puede afirmarse que la proposición es cierta.

Esta proposición por su estructura simple es denominada elemental, pero existen juicios que poseen una complejidad mayor, por ejemplo la proposición “Adobe Photoshop es un programa de Soft y de Diseño”, está compuesta por los elementos “Adobe Photoshop es un programa de Soft” y “Adobe Photoshop es un programa de Diseño” los cuales se vinculan mediante “y”, la veracidad de este juicio compuesto está determinada por la veracidad de las dos proposiciones elementales que lo componen.

En la lógica proposicional se estudian las proposiciones, los operadores que permiten construir proposiciones compuestas a partir de proposiciones simples, la manera de obtener el valor verdadero de un juicio compuesto a partir de los valores de las proposiciones que lo forman y de los operadores que vinculan a estos, así como el modo de representar las proposiciones a través de fórmulas matemáticas.

Es importante tener en cuenta que no toda expresión lingüística es una proposición, por ejemplo, las preguntas o las órdenes no pueden considerarse como tal pues no se le puede asignar un valor veritativo en ningún contexto.

Alfabeto del cálculo proposicional

El cálculo proposicional se encarga del estudio de las proposiciones como objetos matemáticos, para ello lo primero que se define es un alfabeto compuesto por símbolos de constantes, variables, operaciones y agrupación.

Los símbolos de constantes proposicionales son solo dos (0 y 1) pues solo dos son los valores veritativos, el cero representa el valor falso, mientras el uno representa el valor verdadero.

Las variables proposicionales identifican proposiciones de valor desconocido, para representarlas se utilizan letras finales del alfabeto latino (p, q, r, s...), con subíndices en los casos que sea necesario.

Los símbolos de operaciones del cálculo proposicional son:

1.Negación (¬). Representa el “no” del lenguaje natural, también expresiones como “es falso que”, “no se cumple que”, etc.

2.Conjunción (ᴧ). Representa expresiones como: “y”, “pero”, “aunque”, “sin embargo”, etc.

3.Disyunción (V). Representa expresiones como: “o”, “al menos uno”, etc.

4.Condicional (⇒). Representa expresiones como: “si A entonces B”, “cuando A, B”, “B, siempre que A”, etc.

5.Bicondicional (⇔). Representa expresiones mas complejas, donde se expresa que dos proposiciones tienen la misma veracidad.

Los símbolos de agrupación tales como paréntesis, llaves, corchetes, también forman parte de este alfabeto.

Fórmulas del cálculo proposicional

A partir del alfabeto del cálculo proposicional se definen fórmulas del cálculo proposicional (o simplemente fórmulas) de la siguiente manera:

1.Una constante proposicional es una fórmula.

2.Una variable proposicional es una fórmula.

3.Si A es una fórmula, entonces (A), {A} y [A] también son fórmulas.

4.Si A es una fórmula, entonces ¬ A es una fórmula.

5.Si A y B son fórmulas, entonces A ᴧ B, A ⅴ B, A ⇒ B, A ⇔ B también son fórmulas.

6.Toda fórmula del cálculo proposicional obedece a las reglas de formación antes expuestas.

Ejemplos:

0 es una fórmula según la regla 1

p es una fórmula según la regla 2

(p) es una fórmula según las reglas 3 y 2

¬(p) es una fórmula según las reglas 4, 3 y 2

p ᴧ q es una fórmula según las reglas 5, 4, 3 y 2

p + q no es una fórmula pues “+” no es admitido por ninguna de las reglas expuestas.

Dada una proposición, expresada en lenguaje natural, siempre será posible representarla mediante una fórmula del cálculo proposicional, una manera muy simple de hacerlo se describe a continuación:

1.Se identifican las proposiciones elementales.

2.Se representa cada proposición elemental mediante una variable proposicional.

3.Se identifican las negaciones y se le aplica el operador negación a la proposición afectada.

4.Se identifican las expresiones del lenguaje natural que relacionan a las proposiciones elementales y se representan por sus correspondientes símbolos de operaciones.

El siguiente ejemplo ilustra este proceso:

Se desea representar mediante una fórmula del cálculo proposicional la siguiente proposición: “Iriam tiene PC, pero no la utiliza ”.

1.Se identifican dos proposiciones elementales.

a)“Iriam tiene PC”

b)“Iriam utiliza la PC”

2.Se representa la proposición “Iriam tiene PC” como a, y “Iriam utiliza la PC” como b.

3.Se identifica que b está afectada por “no”, de modo que se le aplica la negación a b (¬b).

4.Se identifica que a y¬ b están relacionadas por medio de “pero”, quedando la fórmula a ᴧ¬ b.

Es importante tener presente que las acciones 1-4 enumeradas con anterioridad no son pasos de un algoritmo, pues el orden no siempre puede cumplirse c.

Interpretación de fórmulas del cálculo proposicional

Toda proposición, puede ser representada por una fórmula del cálculo proposicional, por lo que, si a las primeras se les puede asignar un valor veritativo, es de esperar que a las segundas también.

Las fórmulas más simples son las que constan de solo un símbolo de variable o constante proposicional (p, q, r, 1, 0, etc.), a estas se les llama atómicas. En el caso de las fórmulas 0 y 1 sus valores veritativos serán siempre falso (0) y cierto (1) respectivamente. Las variables por su parte, como su nombre lo indica, pueden tomar cualquier valor (0 o 1). A manera de ejemplo, supóngase que la variable p representa a la proposición “está lloviendo”, entonces p tomará valor 1 cuando efectivamente esté lloviendo, mientras tomará valor 0 cuando esto no sea así.

Para determinar el valor veritativo de una fórmula no atómica, lo primero que se necesita es asociar un valor a cada una de las variables que la forman. Pero con esto no basta, se necesita de reglas de interpretación y de precedencia para las operaciones.

Obsérvese la siguiente fórmula:

A: p ᴧ q

Directamente, no se le puede asociar un valor veritativo, pero para una asignación de valores a sus variables (p = 1, q = 0) si se puede determinar el valor de la fórmula. Para esto se utiliza la regla de interpretación de la conjunción, que plantea que esta es verdadera solo si los dos operandos involucrados lo son, por lo tanto, para la interpretación p = 1, q = 0, la fórmula A es falsa. A continuación se presentan las reglas de interpretación para cada uno de los operadores lógicos.

Sean A y B fórmulas del cálculo proposicional, se cumple que:

A    B   A ᴧ B                 A    B          A ⅴ B
0    0       0                    0    0             0
0    1       0                    0    1             1
1    0       0                    1    0             1
1    1       1                    1    1             1

A   B    A ⇒ B                A    B          A ⇔ B
0   0        1                    0    0              1
0   1        1                    0    1              0
1   0        0                    1    0              0
1   1        1                    1    1              1

A     ¬A
0        1
1        0

Obsérvese esta otra fórmula:

A: p ⅴ q ᴧ r

Si se tiene que p = 1, q = 1 y r = 0, solo haciendo uso de las reglas de interpretación de la disyunción y la conjunción no se puede determinar el valor de A, puesto que habría que aplicar una primero y otra después, pero no se sabe en que orden. Si se aplica primero la disyunción, se tiene que p ⅴ q tiene valor 1 y luego 1 ᴧ r seria 0, por lo que A tendría valor 0 o falso. Sin embargo si se aplica primero la conjunción, se tiene que q ᴧ r tiene valor 0, y p ⅴ 0 es 1, teniendo A, de esta manera, valor verdadero o 1. Es por esto que debe existir un orden predeterminado para evitar este tipo de ambigüedades. El orden es el siguiente:

1. Operaciones entre signos de agrupación

2. Negaciones

3. Conjunciones

4. Disyunciones

5. Condicionales

6. Bicondicionales

Entonces la fórmula A cuando p = 1, q = 1 y r = 0, tiene valor 1.

Obsérvese el siguiente ejemplo:

(p ⅴ q) ⅴ q ᴧ r ⇒ s ⅴ p

Sea p = 1, q = 0, r = 0 y s = 1

primero las operaciones entre signos de agrupación

p ⅴ q = 1

sustituyendo

1 ⅴ q ᴧ r ⇒ s ⅴ p

entre ⅴ y ᴧ, el segundo tiene mayor precedencia

q ᴧ r = 0

sustituyendo

1 ⅴ 0 ⇒ s ⅴ p

1 ⅴ 0 = 1 y s ⅴ p = 1

sustituyendo

1 ⇒ 1 = 1

finalmente A = 1

Se hace evidente que el valor veritativo de una fórmula, depende de los valores de las variables involucradas, a cada asignación de valores a las variables de una fórmula, se le llama interpretación, de esta manera, la fórmula p ⅴ ¬q tiene 4 interpretaciones:

1.  p = 0 q = 0 p ⅴ ¬q = 1

2.  p = 0 q = 1 p ⅴ ¬q = 0

3.  p = 1 q = 0 p ⅴ ¬q = 1

4.  p = 1 q = 1 p ⅴ ¬q = 1

El conjunto de interpretaciones de una fórmula puede representarse mediante una “tabla veritativa” o “tabla de la verdad” como la siguiente:

p     q          p ⅴ¬q
0     0             1
0     1             0
1     0             1
1     1             1

Como cada variable proposicional puede tener dos valores, el número de interpretaciones de una fórmula con i variables será 2ⁱ.

Cuando una fórmula es verdadera para al menos una de sus interpretaciones, se dice que es cumplible.

Cuando una fórmula tiene es verdadera para todas sus interpretaciones se dice que es una tautología.

Cuando una fórmula es falsa para todas sus interpretaciones se dice que es una contradicción.

Equivalencia e implicación lógica. Leyes de equivalencia

Existen fórmulas que, aunque diferentes en su composición, son iguales en sus interpretaciones, es decir, toman iguales valores para iguales valores de sus variables. Obsérvese el siguiente ejemplo:

A- (p ⅴ q) ᴧ q        B- q ⅴ (p ᴧ q)
p     q     A             p     q      B
0     0     0             0      0     0
0     1     1             0      1     1
1     0     0             1      0     0
1     1     1             1      1     1

Cuando esto ocurre, se dice que son fórmulas equivalentes. Con respecto a la equivalencia entre fórmulas, se cumple que:

Siendo A y B fórmulas del cálculo proposicional, A es equivalente a B, si y solo si A ⇔ B es una tautología.

De lo analizado se desprende que para demostrar que dos fórmulas son equivalentes, basta con construir sus respectivas tablas de la verdad, si son iguales queda demostrada la equivalencia.

Hay fórmulas que sin llegar a ser equivalentes, cumplen cierta dependencia, tal como ocurre en el siguiente ejemplo:

A- p ᴧ q                 B- q ⅴ p
p      q       A          p     q     B
0      0       0          0     0     0
0      1       0          0     1     1
1      0       0          1     0     1
1      1       1          1     1     1

Puede apreciarse que cuando A es 1, entonces B también lo es, en estos casos se dice que A implica lógicamente a B, la implicación lógica cumple que:

Siendo A y B fórmulas del cálculo proposicional, A implica logicamente a B, si y solo si A ⇒ B es una tautología.

Una equivalencia o implicación lógica, constituye de hecho una ley, a continuación aparecen algunas de las leyes lógicas más comunes (A, B, C son fórmulas cualesquiera):

L1. A ⅴ A equivalente a A                                            Leyes de idempotencia
L2. A ᴧ A equivalente a A                                            Leyes de idempotencia
L3. (A ⅴ B) ⅴ C equivalente a A ⅴ (B ⅴ C)                     Leyes asociativas
L4. (A ᴧ B) ᴧ C equivalente a A ᴧ (B ᴧ C)                     Leyes asociativas
L5. A ⅴ B equivalente a B ⅴ A                                      Leyes conmutativas
L6. A ᴧ B equivalente a B ᴧ A                                      Leyes conmutativas
L7. A ⅴ (B ᴧ C) equivalente a (A ⅴ B) ᴧ (A ⅴ C)            Leyes distributivas
L8. A ᴧ (B ⅴ C) equivalente a (A ᴧ B) ⅴ (A ᴧ C)            Leyes distributivas
L9. A ⅴ 0 equivalente a A                                             Leyes de identidad
L10. A ᴧ 1 equivalente a A                                           Leyes de identidad
L11. A ⅴ 1 equivalente a 1                                           Leyes de identidad
L12. A ᴧ 0 equivalente a 0                                           Leyes de identidad
L13. A ⅴ ¬A equivalente a 1                                        Ley del tercero excluido
L14. A ᴧ ¬A equivalente a 0                                        Ley de contradicción
L15. ¬(¬A) equivalente a A                                         Ley de la doble negación
L16. ¬1 equivalente a 0                                               Ley de negación de una tautología
L17. ¬0 equivalente a 1                                               Ley de negación de una contradicción
L18. ¬(A ⅴ B) equivalente a ¬A ᴧ ¬B                          Leyes de D’Morgan
L19. ¬(A ᴧ B) equivalente a ¬A ⅴ ¬B                          Leyes de D’Morgan
L20. A ⇒ B equivalente a ¬A ⅴ B                                 Definición de ⇒
L21. A ⇔ B equivalente a (A ⇒ B) ᴧ (B ⇒ A)                 Definición de ⇔

Las leyes constituyen poderosas herramientas para demostrar la equivalencia entre fórmulas sin tener que recurrir a las tablas de la verdad, basta con transformar una fórmula en otra por medio de leyes para demostrar su equivalencia.

Enlaces externos

Fuentes

  • Hamilton, A. G. (1981). Lógica para matemáticos. Paraningo.
  • Badesa, C.; Jané, I.; Jansana, R. (1998). Elementos de lógica formal. Ariel.
  • Barnes, D. W.; Mack, J. M. (1978). Una introducción algebraica a la lógica matemática. Eunibar.
  • Ershov, Y.; Paliutin, E. (1990). Lógica matemática. Mir.
  • Jané, I. (1989). Álgebras de Boole y lógica. Publicaciones U.B.
  • Nidditch, P. H. (1978). El desarrollo de la lógica matemática. Cátedra.