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Derivación de funciones compuestas

Derivación de funciones compuestas
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Derivación de funciones compuestas. Para derivar funciones compuestas en una sola variablea se utliza la regla de la cadena, en el caso de funciones de más de una variable la regla de la cadena tiene varias versiones que dan la regla de diferenciación de la composición de funciones para diferentes casos.

Primer caso

Si z= f(x,y) es una función diferenciable de los argumentos x e y, que son a su vez funciones diferenciables de una variable independiente t

x = ð(t), y = φ(t)

La derivada de la función compuesta z = f[ð(t),φ(t)] se puede calcular por la fórmula:

Derivada compuesta primer caso.JPG

Ejemplo 1

Si z = f (x, y) = x2 y − y4 x3 , donde x = t3 e y = ln t, la diferencial de z respecto de t será:

d͡z/d͡x = (2xy − 3y4x2) Derivando la función z con respecto a x

d͡z/d͡y = (x2 − 4y3 x3) Derivando la función z con respecto a y

dx/dt = 3t2 Derivando x = t3

dy/dt = 1/t Derivando y = ln t

Luego sustituyendo en la fórmula resulta


d͡z/d͡t = (2xy − 3y4x2)3t2 + (x2 − 4y3 x3)1/t


sustituyendo los valores de x e y como función de t :

d͡z/d͡t = (2t3ln t - 3(ln t)4t6)3t2 + (t6 − 4(ln t)3t9)1/t

d͡z/d͡t = 6t5 ln t + t5 − 4 (ln t)3 t8 − 9(ln t)4 t8

Segundo caso

Si z es una función compuesta de varias variables independientes, por ejemplo, z = f(x,y) donde x = ð(s,t) e y = φ(s,t) s y t son variables independientes, f, ð y φ son funciones diferenciables, las derivadas parciales de z con respecto a s y t se expresan así:

Derivada compuesta segundo caso.JPG

Ejemplo 1

Si z = f (x, y) = x2 y − y 4 x3 donde x = t3 + 2s e y = s ln t, entonces las derivadas parciales de z respecto de s y t son:


d͡z/d͡s = (2xy − 3y4x2) 2 + (x2 − 4y3 x3)ln t

d͡z/d͡t= (2xy − 3y4x2)3t2 + (x2 − 4y3 x3)s/t

sustituyendo los valores de x = t3 + 2s e y = s ln t


d͡z/d͡s = 2 (2(t3 + 2s)sln t − (s ln t)4 (t3 + 2s)2 + ln t (t3 + 2s)2 − 4 (s ln t)3 (t3 + 2s)2</sup))


d͡z/d͡t = 3t2(2(t3 + 2s) - (s ln t)4 (t3 + 2s)2

Caso general

Si z es una función diferencial de n variables, x1 , x2 , ..., xn , donde estas a su vez son funciones diferenciables de m variables, t1 , t2 , ..., tm , entonces z es una función diferencial de t1 , t2 , ..., tm donde:

Derivada de función compuesta caso general.JPG

Fuente

  • Cálculo. Roland Larson y otros.
  • Cálculo Diferencial e Integral, Willian Granville y otros

Véase también