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Lemniscata de Bernoulli

Lemniscata de Bernoulli
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Lemniscate0b.gif

Lemniscata de Bernoulli. En matemática, una lemniscata es un tipo de curva descrita por la siguiente ecuación en coordenadas cartesianas:

Lemniscata.png

Historia

La Lemniscata se considera actualmente como un caso particular de los óvalos estudiados por Jean Dominique Cassini en 1680, pero son Jackob Bernoulli y Johann Bernoulli los que la descubrieron y dieron a conocer independientemente, al intentar resolver un problema planteado por Leibnitz creador, junto con Isaac Newton del cálculo infinitesimal, que lanzó a la comunidad científica de la época el reto de encontrar la ecuación de la isócrona paracéntrica. La solución encontrada fue la Lemniscata que en honor a los hermanos Bernoulli paso a denominarse Lemniscata de Bernoulli.

Bernoulli la llamó lemniscus, que en Latín significa "cinta colgante".

La representación gráfica de esta ecuación genera una curva similar a . La curva se ha convertido en el símbolo del infinito y es ampliamente utilizada en matemática.

Definición

Es la curva que se define como el lugar geométrico de los puntos tales que la suma de las distancias desde dos puntos focales es una constante.

Ecuaciones

Lemniscata.png

r2=a2cos2θ

  • Análogamente, con coordenadas bipolares su ecuación es:

rrʼ=a2/2

Construcción

Lemniscata de Bernoulli‎
Se construye una circunferencia de centro F’, tangente a dos rectas perpendiculares que se cortan en el punto O.

Sea P un punto cualquiera de la circunferencia y Q el punto de intersección entre la semirrecta OP y la circunferencia. Se traza la circunferencia de centro O y radio PQ.

Sea M el punto de intersección de la semirrecta y la circunferencia de centro O.

El lugar geométrico descrito por el punto M y el simétrico de M respecto a O (M’), a medida que P se mueve en la circunferencia de centro F’, es una Lemniscata de Bernuolli.

Vea también

Fuentes