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Máximo común divisor

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Máximo común divisor
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MCD principal.jpg
Concepto:El mayor de los divisores comunes de varios números

La búsqueda del máximo común divisor es un procedimiento matemático utilizado para resolver situaciones como la siguiente:

A un campamento de pioneros van 30 alumnos, de ellos 12 son niñas y 18 son niños, al llegar la noches estos deben acampar en cabañas. ¿De cuántas plazas, como máximo, debe ser cada cabaña para que cada una de ellas esté ocupada solo por chicos o solo por chicas?

Máximo común divisor

El máximo común divisor de dos o más números naturales es el mayor de sus divisores comunes.

Por ejemplo: el mayor número que es divisor común de 18, 24 y 30 es 6; luego 6 es el máximo común divisor de 18, 24 y 30.

El máximo común divisor de varios números ―a, b y c, por ejemplo― se designa abreviadamente así:

m. c. d. (a, b, c) o también MCD (a, b, c)

Para obtener el máximo común divisor de vario números naturales, existen varios métodos:

Métodos para hallar el m. c. d.

1- De acuerdo con la definición

El m. c. d. de varios números puede hallarse, de acuerdo con la definición, determinando todos los divisores, simples y compuestos, de cada uno de ellos y buscando después, entre esos divisores, cuáles son los comunes a todos los números dados. El mayor de esos divisores será el MCD.

Ejemplo:

a) Hallar el MCD de 18, 24 y 42
Divisores de 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18
Divisores de 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
Divisores de 42: 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42
Los divisores comunes de 18, 24 y 42 son: 1, 2, 3 y 6. El mayor es 6.
Luego el MCD (18, 24, 42) = 6
Este método contribuye a aclarar el concepto de MCD, pero no es un método práctico, sumamente laborioso.

Máximo común divisor de fracciones irreducibles

Si tenemos ron A en una cuba de 3/4 de quintal métrico de capacidad; ron B puede alcanzar 9/10 de quintal métrico, en otra cuba; se trata de trasegar mediante un cucharon de cierto volumen, de modo tal que se puede sacar una cantidad exacta mínima de veces de cada cuba, hasta vaciarla totalmente.

Previamente reducimos a común denominador: 3/4= 15/20 y 9/10= 18/20. Se ve que de cada cuba se puede sacar 1/20, pero para sacra la menor cantidad de veces hay que aumentar el volumen del cucharón, lo que se consigue considerando el mcd de 15 y 18, o sea 3. De modo que 3/4:3/20= 4 y 9/10:3/20= 6. De manera que mcd(3/4, 9/10) = mcd(3,9)/mcd(4,10)= 3/20. [1]

Métodos para hallar el MCD

1- De acuerdo con la definición

El MCD de varios números puede hallarse, de acuerdo con la definición, determinando todos los divisores, simples y compuestos, de cada uno de ellos y buscando después, entre esos divisores, cuáles son los comunes a todos los números dados. El mayor de esos divisores será el MCD

Ejemplo:

a) Hallar el MCD de 18, 24 y 42

Divisores de 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18

Divisores de 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

Divisores de 42: 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42

Los divisores comunes de 18, 24 y 42 son: 1, 2, 3 y 6. El mayor es 6.

Luego el MCD (18, 24, 42) = 6

Este método contribuye a aclarar el concepto de MCD, pero no es un método práctico, sumamente laborioso.

2- Por inspección

Se ve sucesivamente si el menor de esos números, o su mitad, o su tercera, o su cuarta, etc. (si las tiene) es divisor de los otros números dados. El primero que lo sea es el MCD de todos ellos.

En cualquier caso en que un número divida a otro, el primero, el divisor, es el MCD de los dos

Ejemplo:

a) Hallar el MCD de 6, 18 y 24

Probamos el menor, 6 y como vemos que los otros dos son divisibles por él, el MCD es 6

b) Hallar el MCD de 10, 15, 45 y 90

El menor es 10, no divide a los otros. Probamos con su mitad, que es 5, y como si los divide, 5 es el MCD de 10, 15, 45 y 90.

c) Hallar el MCD de 6, 8 y 30

El menor es 6, no divide a los otros dos, su mitad es 3, tampoco; su tercera, 2, si los divide: por lo tanto, 2 es el MCD de 6, 8 y 30.

En este método las operaciones son sencillas y se hacen mentalmente por lo que se sugiere cuando se trata de números pequeños.

3- Por descomposición en factores

Se descomponen los números dados en factores primos, se toman los factores comunes a todos ellos con el menor exponente que presenten en sus respectivas descomposiciones. El producto de esos factores será el MCD de los números dados.

Este método es el mejor siempre que no haya grandes dificultades para descomponer los números dados en sus factores primos.

Ejemplo:

a) Hallar el MCD de 180, 240 y 1400

Descomponemos los números en factores primos

Imagen 2.JPG

Expresamos los números como productos, si algunos de los factores se repiten lo escribimos como potencia.

        180 = 22 x 32 x 5

        240 = 24 x 3 x 5

        1400 = 23 x 52 x 7

Analizamos cada factor y observamos si están en las tres descomposiciones, de estar lo tomamos con el menor exponente, en este caso el 2 y 5 está en las tres descomposiciones, tomamos el 2 con exponente 2 (22) y el 5 con exponente 1

Luego: MCD (180, 240, 1400) = 22 x 5 = 4 x 5 = 20

b) Hallar el MCD de 50, 100 y 483

Prescindiendo del 100 por se múltiplo de 50, resulta:

Descom en factores b.JPG

Como no hay ningún factor común el MCD de 50, 100 y 483 es 1, pues sabemos que el 1 es divisor de todos los números. Esto sucede cuando los números dados son primos entre sí

4- Por divisiones sucesivas. (Hay que distinguir dos casos)

1- Si se trata de dos números: se divide el mayor por el menor, este por el primer resto, éste por el segundo, y así sucesivamente hasta llegar a una división exacta. El último divisor empleado será el MCD de esos números.

Si al dividir el mayor entre el menor la división fuera exacta, el menor sería el MCD.

Ejemplo.

Hallar el MCD de 344 y 1460

a) Se divide el mayor (1460) entre el menor (344); el resultado es 4 con resto 94 (primer resto).

b) Se divide el menor (344) entre el primer resto (94); el resultado es 3 con resto 62 (segundo resto).

c) Se divide el primer resto (94) entre el segundo resto (62); el resultado es 1 con resto 32 (tercer resto).

d) Se divide el segundo resto (62) entre el tercer resto (32); el resultado es 1 con resto 30 (cuarto resto).

e) Se divide el tercer resto (32) entre el cuarto resto (30); el resultado es 1 con resto 2 (quinto resto).

f) Se divide el cuarto resto (30) entre el quinto resto (2); el resultado es 15 con resto 0.

g) El último divisor empleado es 2; por tanto el MCD de 344 y 1460 es 2.

Nota. Para ahorrar tiempo y espacio estas divisiones pueden ponerse de la siguiente forma.

Divisiones sucesiva.JPG

2- Si se trata de más de 2 números: se halla entre 2 de ellos el MCD; entre este y otro de los números se halla el MCD; entre éste y otro de los números se halla el MCD; y así sucesivamente: El último MCD es el MCD de los números dados.

Es conveniente empezar por los 2 menores.

Ejemplo:

1- Hallar el MCD de 300, 810 y 1044

a) Hallamos el MCD entre 300 y 810

Archivo:Divis sucesivas 1).JPG

Por lo tanto el MCD de 300 y 810 es 30

b) Hallar el MCD de 30 y 1044

Divis sucesivas 2).JPG

El MCD (30,1044) = 6

Por lo tanto el MCD (300, 810, 1044) = 6

2- Hallar el MCD de 60, 250, 325, 500 y 600.

Como el 60 es divisor de 600 se prescinde de 600; como 250 es divisor de 500 se prescinde de éste. Entonces quedan 60, 250 y 325. Empezamos por los 2 menores

Divis sucesivas 3).JPG

El MCD de 250 y 60 es 10

Ahora hallamos el MCD entre 10 y 325.

Archivo:Divs sucesivas 4).JPG

El MCD de 60, 250, 325, 500 y 600 es 5.

Resumen

Debe recordarse que:

1-Si se trata de hallar el MCD de dos números y uno es divisor del otro, el primero, el divisor, es el MCD de los dos números dados.

2- No debe considerarse como primo un número hasta que no se haya hecho la investigación necesaria.

3- No deben suprimirse los ceros en el dividendo y el divisor al usar el método de las divisiones sucesivas.

4- Si no aparece ningún factor común entre los números dados, su MCD es 1

Regla general para hallar el MCD de varios números.

1- Se observa si alguno de los números dados es múltiplo de otro. En este caso se prescinde del múltiplo.

2- Se elige cuál de los métodos se va a emplear de acuerdo con lo siguiente:

  • Si los números son pequeños: método de inspección
  • Si lo números son grandes, pero descomposición en factores es fácil: método de descomposición en factores
  • Si lo números son grandes, pero descomposición en factores es difícil: método de divisiones sucesivas.

Aplicaciones del MCD

1. Simplificar una fracción hasta su irreducible.

Ejemplo: Simplifica hasta  su equivalente irreducible la siguiente fracción:

Fracción para reducir.JPG

Hallamos el M.C.D. (360, 336).

Para ello factorizamos el numerador y el denominador.

360 = 23 x 32 x 5

336 = 24 x 3 x 7

Elegimos los factores primos comunes elevados al menor exponente y tenemos que:

M.C.D. (360, 336) = 23 × 3 = 8 × 3 = 24.

Dividimos el numerador y el denominador entre 24

360 = 360 : 24 = 15

336    336 : 24    14

y obtenemos la fracción equivalente irreducible:

Fracción reducida.JPG

 2. Resolver problemas de la vida práctica.

Ejemplo: Queremos embaldosar el suelo de una cocina rectangular con baldosas cuadradas. La cocina mide 270 cm de largo por 180 cm de ancho. ¿De qué tamaño tengo que comprar las baldosas de manera que encajen enteras en estas dimensiones y sean lo más grande posible? ¿Cuántas baldosas tengo que comprar?

Solución: la longitud del lado de la baldosa ha de ser un divisor común de 270 y 180, y el más grande posible. Por lo tanto, estamos buscando el máximo común divisor de 270 y 180.

Factorizamos 270 y 180:

270 = 2 x 33 x 5

180 = 22 x 33 x 5

Elegimos los factores primos comunes elevados al menor exponente y tenemos que:

M.C.D. (270,180) = 2 × 32 × 5 = 2 × 9 × 5 = 90.

Por lo tanto, comprando baldosas de 90 cm de lado podremos pavimentar la cocina sin tener que romper ninguna. Ahora vamos a calcular cuántas necesitamos:

270 : 90 = 3. Tres baldosas de largo.

180 : 90 = 2. Dos baldosas de ancho.

Respuesta: Necesitamos 6 baldosas.

Máximo común divisor de fracciones irreducibles

Sean a/b y c/d dos fracciones positivas e irreducibles, luego su máximo común divisor es una fracción que se forma como

mcd(a, c)/ mcm(b,d) Por ejemplo:
para 3/4 y 5/6 resulta mcd (3,5) /mcm(4,6) = 1/12. Esto significa que dos recipientes de 3/4 y 5/6 m3pueden ser vaciados mediante un recipiente de 1/12 m3, el primero en 9 veces y el segundo, en 10 veces y el recipiente vaciador es el de máximo volumen, pueden también usarse de 1/24, 1/36, etc. pero estos son de menos volumen. [2]

Ejercicios para repasar

1. Halla el máximo común divisor de las siguientes series de números.

  • 315 y 945
  • 35 y 48
  • 180, 252 y 594
  • 924, 1.000 y 1.250

2. Hallar el número mayor que está contenido exactamente en 140, 180 y 200.

3. ¿Cuál es la mayor longitud que puede tener una cuerda con la cual es posible medir exactamente una distancia de 48 metros, otra de 64 metros y otra de 112 metros de longitud?

4. Un ciclista puede recorrer diferentes distancias de 32, 48 o 72 Km, en un número exacto de horas. ¿Cuál es la mayor velocidad a que puede correr en esas condiciones?

5. Si se tienen 3 depósitos de 144, 240 y 336 litros de capacidad respectivamente. Si con una manguera se puede llenar cualquiera de ellos en un número exacto de minutos. ¿Cuál es la mayor cantidad de agua que puede verter la manguera por minutos?

6. Un ebanista quiere cortar una plancha de madera de 256 cm de largo y 96 cm de ancho, en cuadrados lo más grandes posible. ¿Cuál debe ser la longitud del lado de cada cuadrado? ¿Cuántos cuadrados se obtienen de la plancha de madera?

7. María y Jorge tienen 25 bolas blancas, 15 bolas azules y 90 bolas rojas y quieren

8. hacer el mayor número de collares iguales sin que sobre ninguna bola. ¿Cuántos collares iguales pueden hacer? ¿Qué número de bolas de cada color tendrá cada collar?

9. Un campo rectangular de 360 m de largo y 150 m de ancho, está dividido en parcelas cuadradas iguales. El área de cada una de estas parcelas cuadradas es la mayor posible. ¿Cuál es la longitud del lado de cada parcela cuadrada?

10. Juan tiene que poner un rodapié de madera a dos paredes de 12 m y 9 m de longitud. Para ello ha averiguado la longitud del mayor listón de madera que cabe en un número exacto de veces en cada pared. ¿Cuál será la longitud de este listón?

Ver también

Fuentes

  • Sócrates Rosell, Franco: Aritmética (volumen I). La Habana: Editorial Pedagógica, segunda edición.
  • Microsoft Encarta: "Múltiplo de un número. El máximo común divisor de varios números".
  • Libro de texto Secundaria Básica. 9no Grado.
  • [1]
  1. Adaptación de Aritmética de García Ardura, publicación española de los años 1960.
  2. Adaptación del manual Problemas y ejercicios de Aritmética de García Ardura.