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Paralelismo y Perpendicularidad

Paralelismo y perpendicularidad
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Paralelismo y perpendicularidad.

Definición

Sean las rectas r1 y r2 de pendientes m1 y m2 respectivamente, se cumple que:

a) r1 // r2 si y solo si m1 = m2

b) r1 ↓ r2 si y solo si m2 = - 1/m1


Demostración

Si r1 // r2

YM figura 1.JPG

se cumple que:

ɑ1 = ɑ2 por ser correspondientes

luego

tan ɑ1 = tan ɑ2

por tanto

m1 = m2 (Condición de paralelismo)

como los pasos son reversibles se demuestra que si m1 = m2,

entonces r1 // r2 y queda demostrado el inciso a).

b) r1 ↓ r2

YM figura 2.JPG

se cumple que:

ɑ2 = 90o + ɑ1 ángulo exterior a un triángulo

luego

tan ɑ2 = tan ( 90o + ɑ1 )

tan ɑ2 = - cot ɑ1 = -1/tan ɑ1

por tanto m2 = - 1/m1 (condición de perpendicularidad)

como los pasos son reversibles se demuestra que si m2 = - 1/m1, entonces r1 ↓ r2 y queda demostrado el inciso b.

Ejercicio Resuelto

Muestra que el triángulo cuyos vértices son A(2; -3), B(5; -2) y C(4;1) es rectángulo.

m= y2 - y1 / x2 - x1

mAB = -2 - (-3)/ 5-2

mAB = -2 + 3 / 3

mAB = 1/3

m= y2 - y1 / x2 - x1

mBC = 1 - (-2) / 4 - 5

mBC = 1 + 2 / - 1

mBC = 3 / -1

Por lo que

MAB = - 1/MBC

El triángulo es rectángulo en el vértice B.

Veáse también

Fuente

  • Colectivo de autores. Matemática 11no grado. Editorial Pueblo y Educación. 1990.
  • Libro de texto Matemática 10mo grado. Editorial Pueblo y Educación. 1990.
  • Cuaderno Complementario. Matemática 9 no grado. Editorial Pueblo y Educación. 2005.