Relaciones y funciones

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Relaciones y Funciones
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Concepto:Relación es la correspondencia de un primer conjunto, llamado Dominio, con un segundo conjunto, llamado Imagen o Codominio. Función es una aplicación o mapeo f, es una relación entre un conjunto de partida X denominado dominio y un conjunto de llegada Y denominado imagen o codominio de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento imagen f(x)

Relaciones y Funciones. En matemáticas una Relación es la correspondencia de un primer conjunto, llamado Dominio, con un segundo conjunto, llamado Imagen o Codominio, de manera que a cada elemento del Dominio le corresponde uno o más elementos del conjunto Imagen. Por su parte, una Funciónaplicación o mapeo f, es una relación entre un conjunto de partida X denominado dominio y un conjunto de llegada Y denominado imagen o codominio de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento imagen f(x). Se denota por: f: X→ Y. De las definiciones anteriores podemos deducir que todas las funciones son relaciones, pero no todas las relaciones son funciones. En varias ramas del saber humano, al estudiar elementos de determinados conjuntos se encuentran vínculos entre estos, por ejemplo, al estudiar el conjunto de los programas de estudios de los JCCE se encuentra que unos son familiares de otros, o al estudiar los componentes de Hard aparecen unos dependientes de otros, muchos de estos vínculos tienen una gran importancia y para formalizar su estudio aparece el concepto de relación, de modo que si Microsoft Access es una Unidad del programa de Operador de Microcomputadoras, se plantea que Microsoft  Access está relacionado con el programa Operador de Microcomputadora por medio de la relación es una unidad de.

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Par ordenado y conjunto producto

Para adentrase en el estudio de las relaciones hay que establecer primero dos conceptos fundamentales, el primero de ellos es el par ordenado. Un par ordenado es un objeto matemático compuesto por dos elementos para los cuales se ha fijado un orden específico, la forma de denotarlo se ilustra a continuación:
<a, b> Par ordenado que tiene como primer componente a a y segundo ab
<Luis, José> Par ordenado que tiene como primer componente a Luis y segundo aJosé
Con respecto a los pares ordenados hay que enfatizar que existe un orden entre los elementos que los forman, lo que los distingue de simples conjuntos de dos elementos, no es el mismo par <a, b> que <b, a> sin embargo {a, b} y {b, a} representan al mismo conjunto.
El segundo concepto que debe establecerse para el estudio de las relaciones es el de conjunto producto:
Conjunto producto: Siendo A y B conjuntos, se define como conjunto producto de A y B (A x B) al conjunto de todos los pares ordenados que se tienen como primer componente un elemento del conjunto A y como segundo componente un elemento del conjunto B.
A x B = {<x, y>| x pertenece a  A, y pertenece a B}
Ejemplo: Sea A = {a, b, c} y B = {a, f, h}, construya el conjunto producto A x B.
Respuesta: A x B = {<a, a>, <a, f>, <a, h>, <b, a>, <b, f>, <b, h>, <c, a>, <c, f>, <c,h>}

Definición conjuntual de relación binaria.

Si Microsoft Access es una Unidad del programa de Operador de Microcomputadora , entonces Microsoft Access está relacionado con el programa Operador de Microcomputadoras por medio de la relación Unidad de, analizando este ejemplo desde una perspectiva conjuntual puede observarse que:
1.Access pertenece al conjunto de los programas de soft.
2.programa Operador de Microcomputadoras pertenece a los Programas de Soft.
3.<Access, Programa de Operador de Microcomputadoras> pertenece a los Programas de Soft
4.Cualquier programa del paquete de office del programa Operador de Microcomputadoras que se analice cumplirá con las tres condiciones anteriores.
La siguiente definición de relación permite generalizar lo observado:
Definición. Sean dos conjuntos A y B no necesariamente distintos, se llama relación binaria de A en B (se denota por R) a un subconjunto de pares ordenados de A x B; es decir, ; A recibe el nombre de conjunto de partida u origen y B conjunto de llagada o codominio.
Si A = B entonces se dice que R es una relación binaria definida en A.
Ejemplo: Construya una relación de A en B si A= {1, 2, b} y B= {3, 4, c}.
Respuesta: Una posible relación es R= {<1,3>, <2,3>, <b, c>, <2, c>, <1, c>}
En el ejemplo anterior, todos los elementos del conjunto de partida (A) están involucrados en algún par de la relación, pero esto no tiene que ser necesariamente así, obsérvese el siguiente conjunto:
S = {<1, 3>, <b, 3>, <b, c>, <b, 4>, <1, c>}
S es también una relación definida de A en B, sin embargo el 2, que es elemento de A no aparece como primer elemento de ningún par de S, en tal caso se dice que 2 no pertenece al dominio de S.
Definición. Recibe el nombre de dominio de R y se denota D(R) el conjunto de todos los elementos que aparecen como primer elemento en algún par de R.
D(R) = {x / existe al menos un elemento y, tal que <x, y> pertenece a R}.
En el ejemplo anterior se tiene que D(R) = {1, 2, b} = A, mientras D(S)= {1, b}
Evidentemente siempre el dominio de una relación va a ser un subconjunto de su conjunto de origen.
De manera análoga, pero analizando los segundos elementos de los pares se establece la imagen de una relación.
Definición. Se conoce comoImagen de R y se denota I(R) al conjunto de todos los elementos que aparecen como segundo elemento de algún par de R
I(R) = {y / existe al menos un elemento x, tal que <x, y> pertenece a R}.
Si volvemos al ejemplo anterior podemos decir que I(R) = {3, c}, mientras I(S) = {3, 4, c} = B.
Similarmente a como ocurre en el caso del dominio, la imagen de una relación siempre va a ser un subconjunto de su conjunto de llegada.

Propiedades de las relaciones binarias.

Algunas relaciones binarias cumplen determinadas propiedades que las distinguen, a continuación se presentan algunas de ellas.
La relación de igualdad y la relación mayor o igual que, son dos relaciones en las que cada elemento del conjunto de partida se relaciona consigo mismo (x = x, x <= x), a las relaciones que cumplen esta característica se les denomina relaciones reflexivas.
Definición. Una relación binaria en A es reflexiva si y sólo si para toda x, (xA) se tiene que < x, x >R.
Ejemplo: Si A= {1, 2, 3} entonces R= {<1, 2 >, <2, 2 >, < 3, 1 >, <1, 1>, <3, 3>, <2, 3>} es una relación reflexiva.
La relación ser hermano de, tiene la característica de que si un par aparece en ella, entonces su inverso también, es decir; si a es hermano de b, entonces b es hermano de a, a este tipo de relaciones se les llama simétricas.
Definición. Una relación binaria en A es simétrica si y sólo si para toda x, y toda y tales que x pertenece a A, y pertenece a A se tiene que si < x, y > pertenece R, entonces <y, x > pertenece a R.
Ejemplo: Si A= {1, 2, 3} entonces R= {<1, 1>, <1, 2 >, <3, 2>, <2, 1>, <2, 3 >} es una relación simétrica.
Volviendo a los ejemplos anteriores, la relación de igualdad es simétrica, pero la relación mayor o igual que no lo es, basta para darse cuenta con percatarse de que el par <3,2> pertenece a dicha relación, y sin embargo el par <2, 3> no.
La relación mayor que no es simétrica, pero a diferencia de mayor o igual que, donde algunos pares tienen a su inverso en la relación (<2, 2>, <10, 10 >, en general <x, x>), en esta ningún par tiene su inverso. Cuando esto ocurre se dice que la relación es asimétrica.
Definición. Una relación R definida en A es asimétrica si y sólo si para toda x, y toda y tales quex pertenece a A, y pertenece a A se tiene que si < x, y > pertenece a R, entonces <y, x > no pertenece a R.
Ejemplo: Si A= {1, 2, 3} entonces R= {<1, 2 >, <3, 2>} es una relación asimétrica.
Hay que tener muy presente que asimetría no es la negación de simetría (aún cuando el nombre lo sugiera), existen relaciones que no son ni simétricas ni asimétricas tal es el caso de mayor o igual que, no es simétrica por la presencia de pares para los que su inverso no está en la relación (<3,2>, etc.) pero tampoco es asimétrica por la presencia de pares cuyos inversos sí están contenidos (<1,1>, etc.).
Si se analizan los pares de mayor o igual que, cuyos inversos están contenidos en ella, se aprecia que todos son de la forma <x,x>, o sea el primero y el segundo elemento son iguales, a las relaciones como esta, donde los únicos pares con inversos contenidos son los pares del tipo <x,x>, se les llama antisimétricas.
Definición. Una relación R definida en A es antisimétrica si y sólo si para todax, y toda y tales que x pertenece a A, se tiene que si < x, y > pertenece a R y < y, x >pertenece a R entonces x = y.
Ejemplo: Si A= {1, 2, 3} entonces R= {<1,1>, <1, 2>, <3, 2>} es una relación antisimétrica.
Es común asociar el concepto de antisimetría con el de reflexividad, pero esto es erróneo, pues mientras en el segundo para cada elemento x del conjunto de partida existirá en la relación un par <x, x>, en el primero sólo se exige que si algún par tiene a su inverso en la relación, entonces este par es del tipo <x, x>, habiendo relaciones antisimétricas que ni siquiera tiene pares <x, x>. En el ejemplo anterior, si R = {<1, 2>, <3, 2 >}, sigue siendo antisimétrica.
Si se nos presenta un valor desconocido x, pero se sabe que x > 2, entonces se puede afirmar que x > 1, partiendo del conocimiento de que 2 > 1. A esto se le llama transitividad y es una propiedad comúnmente utilizada, pero la relación mayor que, no es la única que cumple esta propiedad, existen infinidad de relaciones que la satisfacen.
Definición. Una relación binaria definida en A es transitiva si y sólo si, para toda x, toda y, y toda z, tales quex pertenece a A, y pertenece a A, z pertenece a A se tiene que si < x, y> pertenece a R y < y, z > pertenece a R entonces < x, z > pertenece a R
Ejemplo: Si A= {1, 2, 3} entonces R= {<1, 2>, <2, 3 >, <1, 3>} es una relación transitiva.
Es importante reflexionar acerca de que no basta con que algunos pares de la relación satisfagan la propiedad para definir a esta como transitiva, obsérvense los siguientes casos para A = {1, 2, 3, 4}:
a)R = {<1, 2>, <2, 3 >, <1, 3>, <3, 4>}
b)R = {<1, 2>, <2, 3 >, <1, 3>, <3, 4>, <2, 4>}
c)R = {<1, 2>, <2, 3 >, <1, 3>, <4, 3>}
d)R = {<1, 2>, <3, 4 >}
En el caso (a), R no es transitiva, pues si lo fuera, la presencia de <2, 3> y de <3, 4> presupondría la presencia de <2, 4> y este no pertenece a R.
En el caso (b), aparentemente se resuelve el problema, pero hay que tener en cuenta que la presencia de <1, 2>, unido a la presencia de <2, 4> hace necesario la presencia de <1,4> para que R sea transitiva, por lo que no lo es.
En los casos (c) y (d), R si es transitiva, pues no existen x, y, z tales que <x, y> ertenece a R y <y,z> ertenece a R y <x, z> no pertenece a R.

Relaciones de equivalencia.

Las relaciones que cumplen simultáneamente las propiedades de reflexividad, simetría y transitividad se denominan relaciones de equivalencia y son objeto de especial atención entre las relaciones.
Si R es una relación de equivalencia definida en A, entonces los elementos de A se agrupan en subconjuntos disjuntos (cuya intersección es vacía) donde en cada uno de ellos se encuentran elementos que se relacionan entre sí por R, a estos conjuntos se les llama clases de equivalencia por R. Para comprender lo anterior obsérvese el siguiente ejemplo:
Sea A = {1, 2, 3, 4}, R = {<1, 1>, <2, 2>, <3, 3>, <4, 4>, <1, 2>, <,2 1>, <3, 4>, <4,3>}
Es fácilmente comprobable que R es una relación de equivalencia definida en A, en este caso, R determina dos clases de equivalencia {1, 2} y {3, 4}, nótese que ningún par está formado por elementos de clases diferentes y que cualquier par que se pueda formar entre elementos de una misma clase pertenece a la relación.
Si un elemento x pertenece a una clase de equivalencia A, entonces se dice que A = [x] y a A se le llama clase de equivalencia de x, evidentemente si <x, y> pertenece R entonces [x] = [y]

Relación inversa y composición de relaciones

Si se invierte el orden de todos los pares de una relación R definida de A en B, ¿se obtiene una nueva relación? La respuesta es afirmativa, sólo que esta nueva relación sería de B en A, en este caso a la relación obtenida se le llama inversa de R
definición. Sea R una relación entonces se define a partir de R una nueva relación denominada inversa de R de la manera siguiente:
inversa de R = {<x, y> / <y, x> pertenece a R}
Ejemplo1: Sea R = {<1, 3>, <2, b>, <c, d>}
inversa de R = {<3, 1>, <b, 2>, <d, c>}
Ejemplo 2: Sea R = {<x, y> / x > y}
inversa de R = {<x, y> / x ≤ y}
¿Pero, es la inversa, la única operación aplicable a las relaciones? A continuación se describe otro tipo de operación.
definición. Si R y S son relaciones tales que el codominio de R es el conjunto de partida de S, entonces se define a partir de R y S una nueva relación denominada la compuesta de de R con S y se denota por SoR de la manera siguiente:
SoR = {<x,y> / existe un z tal que <x, z> pertenece a R y <z, y>pertenece a S}
Ejemplo: Sea R = {<2, 1>, <3. 3>, <4, 3>} y S = {<3, 4>, <2, 3>} entonces
SoR = {<3, 4>, <4, 4>} y RoS= {<3, 3>, <2, 3>}
Nótese que para encontrar la composición de dos relaciones (SoR), se debe buscar para cada para <x, z> de R, aquellos pares de S de la forma <z, y> y por cada uno encontrado se añade a la composición el par <x, y>

Referencias

Enlaces externos