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Teoría de la dualidad

Teoría de la dualidad
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Concepto:Método matemático incluido en la Investigación de Operaciones
Teoría de la dualidad. El dualismo es una teoría que surge como consecuencia de una profundización en el estudio de la Programación lineal.

Problema dual

Cada problema de programación lineal ( Primal ) está estrechamente relacionado con otro problema simétrico a él, denominado problema dual.

El dualismo es una teoría que surge como consecuencia de una profundización en el estudio de la programación lineal porque la distribución de los recursos y la formación de los precios son dos aspectos del mismo problema. Entonces la doble formulación de la programación lineal no se debe considerar como un simple ejercicio matemático, sino que una y otra versión del problema vienen a explicar dos aspectos económicos distintos para una misma situación problémica. Una propiedad fundamental de la relación entre el primal y el dual es que la solución optima de cualquiera de estos problemas proporciona la solución óptima para el otro.

Importancia

La importancia de la teoría de la dualidad se puede resumir, entre otros aspectos, en lo siguiente:

  • Permite resolver problemas de programación lineal de forma más rápida y sencilla.
  • Es otra vía para resolver un problema de programación lineal.
  • Facilita profundizar en el contenido económico del problema original (primal).
  • Puede ser utilizada para resolver el caso en que se debe considerar la introducción de una nueva variable en el primal una vez que ha de sido obtenida la solución óptima, sin tener que resolver completamente el problema.

Interpretación económica del problema dual

El problema primal y dual explican dos aspectos económicos distintos de un mismo problema. Las variables duales nos vienen a medir el valor de los recursos imputados a la producción, pero esta valoración tiene unas características peculiares, esta realizada en términos de costos de oportunidad. Esto quiere decir que aquellos factores ( o restricciones ) cuyas existencias no quedan agotadas en el programa óptimo establecido, tienen un costo nulo desde el anterior punto de vista, pues bajo el prisma exclusivo del sistema empresarial es un bien libre al estar en exceso.

En consecuencia, la función objetivo, medirá el costo total de los factores imputados a la producción, valor que ha de igualarse al rendimiento total hallado en la función económica del primal para que se produzca el equilibrio. Explicaremos con más detalle la interpretación económica del problema dual.

Para la realización de este análisis vamos a partir del supuesto que se tiene un problema de programación lineal donde se maximiza el valor de la función objetivo, por ejemplo la ganancia.

Relaciones entre el método primal y el dual

De lo anteriormente expuesto se puede deducir que existe una estrecha relación entre el problema primal y dual que puede expresarse en lo siguiente:

  • El dual tiene la matriz D transpuesta, es decir, si suponemos que D es de orden sx r, entonces Dt es de orden r x s. Además las variables del primal y el dual son diferentes, ya que X será un vector de r-componentes mientras que el vector Y tendrá s-componentes.
  • Los términos independientes del conjunto de las restricciones del problema primal forman los coeficientes de la función objetivo del dual.
  • Los coeficientes de la función objetivo del primal forman los términos independientes de las restricciones del dual.
  • Las restricciones del dual cambian su sentido al igual que el criterio de optimización en términos de mínimo o máximo.
  • A cada restricción del problema primal le corresponde una variable dual y análogamente a cada restricción del dual le corresponde una variable del primal.
  • Si se halla el dual del problema dual, obtendremos el problema primal.

Fuente

  • Libro:Colectivo de autores:“Introducción a la investigación de operaciones”, tomo III, 1999.
  • Monografía. Investigación de operaciones. Autor(a)s: Dr. Grisel Barrios Castillo. Msc. Meylin Miranda Rodríguez. 2008.