Teorema
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Teorema. Es una afirmación que debe ser demostrada dentro de un sistema formal. Demostrar teoremas es un asunto central en la matemática deductiva. Sin embargo, cómo surgen los teoremas es tarea de la matemática intuitiva [1]
Sumario
Terminología
De la palabra latina theorēma, un teorema es una proposición que debe demostrarse de forma lógica a partir de su hipótesis, acudiendo a axiomas u otros teoremas ya demostrados con anterioridad. Este proceso de demostración se realiza mediante ciertas reglas de inferencia.
El teorema es, por lo tanto, una afirmación de importancia. Existen afirmaciones de menor rango, como el lema (una afirmación vinculada a un teorema más largo y encamina la prueba de este), el corolario' (la afirmación que sigue de manera inmediata al teorema) o la proposición (un resultado que no se encuentra asociado a ningún teorema en específico); finalmente, escolio que es una observación proposicional importante.
Cabe destacar que, hasta que la afirmación no es demostrada, se denomina o conjetura o proposición no probada.
Un teorema generalmente posee un número de premisas que deben ser enumeradas o aclaradas de antemano. Luego existe una conclusión, una afirmación matemática, la cual es verdadera bajo las condiciones dadas. El contenido informativo del teorema es la relación que existe entre la hipótesis y la tesis o conclusión.
Corolario. A una afirmación lógica que sea consecuencia inmediata de un teorema, pudiendo ser demostrada usando las propiedades del teorema previamente demostrado.
Definiciones de teorema
- Un teorema es una afirmación que puede ser demostrada como verdadera dentro de un marco lógico.
- Teorema es una Proposición que para ser evidente necesita demostración. Por ejemplo: La suma de los ángulos de un triángulo es igual a dos ángulos rectos.
- Proposición que afirma una verdad demostrable.
- Para todo conjunto, hay un conjunto que no le pertenece. Prueba. Sea A un conjunto cualquiera. Sea D el conjunto de las y que pertenecen al conjunto A, tales que cumplen la propiedad "y no pertenece a y". ...
- Es una verdad no evidente, pero demostrable.
Teoremas en la lógica matemática
Un teorema requiere de un marco lógico; este marco consistirá en un conjunto de Axiomas Sistema axiomático y un proceso de Inferencia, el cual permite derivar teoremas a partir de los axiomas y teoremas que han sido derivados previamente.
En Lógica matemática y Lógica proposicional, cualquier afirmación demostrada se denomina teorema. Más concretamente en lógica matemática se llama demostración a una secuencia finita de Fórmulas bien formadas (fórmulas lógicas bien formadas) F1,..., Fn, tales que cada Fi es o bien un axioma o bien un teorema que se sigue de dos fórmulas anteriores Fj y Fk (tales que j<i y k<i) mediante una regla de deducción.
Dada una demostración como la anterior si el elemento final Fn no es un axioma entonces es un teorema. Resumiendo, lo anterior puede decirse formalmente, un teorema es una fórmula bien formada, que no es un axioma, y que puede ser el elemento final de alguna demostración, es decir, un teorema es una fórmula lógica bien formada para la cual existe una demostración.
Teoremas en otras ciencias
Con frecuencia en Física o Economía algunas afirmaciones importantes que pueden ser deducidas o justificadas a partir de otras afirmaciones o hipótesis básicas se llaman comúnmente teoremas. Sin embargo, frecuentemente las áreas de conocimiento donde aparecen esas afirmaciones con frecuencia no han sido formalizadas adecuadamente en forma de Sistema axiomático por lo que estrictamente debería usarse con cautela el término teorema para referirse a esas afirmaciones demostrables o deducibles de supuestos "más básicos".
Ejemplos de teoremas
Teorema dual. El principio de dualidad afirma que a partir de cualquier teorema o construcción de geometría proyectiva podemos obtener otro, conocido como Teorema dual sólo cabe intercambiar las palabras punto y recta, modificando también las relaciones entre los puntos y las rectas. Entonces, por este principio:
- Un punto se convierte en una recta.
- Puntos alineados se convierten en rectas que pasan por un punto.
- Rectas tangentes se convierten en el punto de tangencia.
- Un círculo circunscrito se convierte en un círculo inscrito.
El teorema dual del Teorema de Pascal es el Teorema de Brianchon, Teorema de Feuerbach. La Circunferencia de Euler o de los 9 puntos, es tangente a las circunferencias inscrita y exinscrita al triángulo.
- Teorema de Gauss. Los puntos medios de las diagonales de un cuadrilátero completo están en línea recta.
- Teorema de Euler. En cualquier poliedro convexo, el número de caras más el número de vértices es igual al de aristas más dos. (caras + vértices = aristas + 2).
Uno de los teoremas más conocidos es el Teorema de Tales, que señala que, al trazar en un triángulo una Línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtienen dos triángulos semejantes (es decir, tienen los ángulos iguales y sus lados son proporcionales).
Otro teorema muy popular es el Teorema de Pitágoras, el cual establece que, en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la Hipotenusa (el lado de mayor longitud y opuesto al ángulo recto), es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (los dos lados menores del triángulo rectángulo).
Enunciados
Forma usual
cuando no se distingue debidamente la hipótesis y la tesis;
como ejemplo "un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los ángulos del triángulo no adyacentes" [2]
Forma implicativa
se enuncian en la forma si p, entonces q, siendo p la hipótesis y q, la conclusión o tesis.
como ejemplo: si el número natural p es múltiplo de 8, entonces p es múltiplo de 4
Forma disyuntiva
se enuncia como p o no q, siendo p la hipótesis y q la conclusión.
Por ejemplo: el triángulo ACB es rectángulo con el ángulo recto en C o la suma de los cuadrados de los catetos no es igual al cuadrado de la hipotenusa.
Fuentes
- www.euclides.org
- rmpi.blogspot.com
- A. I. Fetísov: Acerca de la demostración en geometría, Editorial Mir, Moscú - 1980.
- Moise & Downs: Geometría moderna impreso en U.S.A. en 1966
