Conjunto de Cantor - Historial de revisiones

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‎Paradoja

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Pararin: Legado del genial Cantor que trabajó en Rusia

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Legado del genial Cantor que trabajó en Rusia

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El conjunto de [[Georg Cantor|Cantor]], que recoge el apellido de George cantor es una curiosidad matématica, también una [[paradoja]], en el sentido normal, es decir que contraviene una intuición universal relativa al tamaño de objetos geométricos. En cierto modo una anomalía digna de la mejor consideración.

==Construcción==

* El primer paso es considerar el intervalo [0,1].
* El segundo paso es quitarle su tercio interior, es decir el intervalo abierto (1/3,2/3).
* El tercer paso es quitar a los dos segmentos restantes sus respectivos tercios interiores, es decir los intervalos abiertos (1/9,2/9) y (7/9,8/9).
* Los pasos siguientes son idénticos: quitar el tercio de todos los intervalos que quedan. El proceso no tiene fin.

El conjunto de Cantor es el conjunto de los escasos puntos que quedan al final: 0 y 1, 1/3 y 2/3, 1/9, 2/9, 7/9 y 8/9, 1/27, ...bueno, escasos no son porque hay una infinidad de puntos: los 1/3n están todos incluidos, con n describiendo los [[número natural|naturales]].

Sin embargo, el conjunto es pequeño cuando se considera su longitud: el intervalo inicial [0,1] mide 1, y a cada paso, se le quita un tercio, lo que hace que su longitud se multiplique por 2/3. La [[sucesión|sucesión geométrica]] un = (2/3)n tiende a cero, por lo tanto el conjunto de Cantor '''mide cero'''. Y es lógico, porque no contiene ningún intervalo ya que se han quitado sistematicamente.
==Paradoja==
La paradoja es la siguiente:
:''El conjunto de Cantor está tiene la misma cantidad de elementos con el segmento [0,1]: aunque la construcción no corrobora''.

Si se considera la escritura en '''base tres''' de los números, se nota que, al quitar siempre el segundo tercio de todos los segmentos, se suprime exactamente los números que tienen un 1 en su escritura ''trienal'': el intervalo (1/3; 2/3) corresponde a los números que empiezan por 0,1 (menos el 1/3 que también se puede escribir 0, 02222222222..... en base tres); el intervalo (1/9;2/9) corresponde a los números que empiezan por 0,01, el (7/9;8/9) por 0,21 y así succesivamente.

La biyección se contruye así: a cada número escrito con solo ''ceros'' y ''doses'' se le hace corresponder el número en '''base dos''' obtenido remplazando todos sus ''doses'' por ''unos''. Por ejemplo, 0,2002 en base tres (que vale 2/3 + 2/81 = 56/81) tiene como imagen 0,1001 en base dos (que vale 1/2 + 1/16 = 9/16).

Se obtiene así todos los números en base dos que empiezan por 0,... y que tienen ceros y/o unos después de la coma: ¡es el intervalo [0,1] entero!

==Fuentes==
*Mauro Chumpitaz. ''Teoría de la medida''

[[Categoría: Matemáticas]]

[[Categoría: Teoría de la medida]]

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−	El conjunto de [[Georg Cantor\|Cantor]], que recoge el apellido de George ~~cantor~~ es una curiosidad matématica, también una [[paradoja]], en el sentido normal, es decir que contraviene una intuición universal relativa al tamaño de objetos geométricos. En cierto modo una anomalía digna de la mejor consideración.	+	El conjunto de [[Georg Cantor\|Cantor]], que recoge el apellido de George Cantor es una curiosidad matématica, también una [[paradoja]], en el sentido normal, es decir que contraviene una intuición universal relativa al tamaño de objetos geométricos. En cierto modo una anomalía digna de la mejor consideración.

	==Construcción==		==Construcción==

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 ==Paradoja==
 La paradoja es la siguiente:
-:''El conjunto de Cantor está tiene la misma cantidad de elementos con  el segmento [0,1]: aunque la construcción no corrobora''.
+:''El conjunto de Cantor  tiene la misma cantidad de elementos con  el segmento [0,1]: aunque la construcción no corrobora''.
 Si se considera la escritura en '''base tres''' de los números, se nota que, al quitar siempre el segundo tercio de todos los segmentos, se suprime exactamente los números que tienen un 1 en su escritura ''trienal'': el intervalo (1/3; 2/3) corresponde a los números que empiezan por 0,1 (menos el 1/3 que también se puede escribir 0, 02222222222..... en base tres); el intervalo (1/9;2/9) corresponde a los números que empiezan por 0,01, el (7/9;8/9) por 0,21 y así succesivamente.
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 Se obtiene así todos los números en base dos que empiezan por 0,... y que tienen ceros y/o unos después de la coma: ¡es el intervalo [0,1] entero!
 ==Fuentes==