Distributividad - Historial de revisiones

Edeliochajc en 20:09 27 jun 2022

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Pararin: /* Diversos casos */ cambio de secuenciación y de productos con vectores

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‎Diversos casos: cambio de secuenciación y de productos con vectores

Pararin: Una propiedad o ley que vincula dos operaciones definidas en el mismo conjunto, en muchos casos, simplificando el aspecto operativo

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Una propiedad o ley que vincula dos operaciones definidas en el mismo conjunto, en muchos casos, simplificando el aspecto operativo

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'''La distributividad''' o '''a propiedad distributiva''' es una ley matemática que aparece para ligar dos operaciones definidas en un conjunto: las que podemos llamar ''suma'' y ''producto''. La primera vez que nos encontramos es en el caso de los números naturales cuando queremos multiplicar la suma indicada de dos naturales por un tercer número.

==Definición==
En forma generalizada sean el conjunto S, en el que hemos definido la suma indicada por + y el producto con ×.
:::: Para los elementos m,n,p se S, se tiene m×(n+p) = m×n + m×p que se llama '''propiedad distributiva por la derecha'''
:::: Con los elementos dados y el mismo conjunto, se tiene la variante: (n+p)×m = n×m + p×n, '''propiedad distributiva por la izquierda'''.
Es necesario considerar estos dos casos, que resultan diferentes cuando el producto no es conmutativo.
:Si la distributividad funciona por ambos lados se dice simplemente '''propiedad distributiva'''.
==Diversos casos==
#1 En los diversos sistemas numéricos: de los naturales, de los enteros, de los racionales, de los reales, de los complejos se cumple para los números a, b y c:
:::: a×(b+c) = a×b + a×c
:::: a×(b-c) = a×b - a×c
:::: (b+c)÷a = b÷a + c÷a, solamente por la derecha
:::: (b-c)÷a = b÷a - c÷a, só por la derecha
:::: (ab)n = anbn, la potencia de un producto es igual al producto de las potencias.
:::: (a÷b)n = an ÷ bn, la potencia de un cociente es igual al cociente de las potencias.
:::: Se cumple también que la raíz n-ésima de un producto ( cociente) es igual al producto ( cociente) de las raíces n-esimas
#2 En el caso de los conectivos lógicos disyunción inclusiva ( V) y conjunción (y), se tienen
:::: pv(qyr) = pvq y pyr
:::: py(qvr) = pyq v qyr, como ambas son conmutativas respecto a la disyunción inclusiva y a a la conjunción hay distributividad por la derecha y por la izquierda
:::: py(q * r) = p y q * p y r la conjunción ''y'' es distributiva respecto a la disyunción exclusiva *
#3 Para la unión e intersección de conjuntos también se cumple, con paralelismo pleno, en los tres casos:
:::: Unión respecto a la intersección
:::: Intersección respecto a la unión
:::: Intersección respecto a la diferencia simétrica.
#4 Para la suma y resta y la derivación D de funciones reales. Lo mismo que la suma y resta y la integral indefinida I de funciones reales:
::::: D(f+g) = Df + Dg
:::: D(f-g) = Df -Dg
:::: I(f+g) = If +Ig
:::: I(f-g) = Df - Dg
: En el caso del logaritmo de dos números positivos no funciona la distributividad, pero sí ocurre que el logaritmo de una potencia es igual a la suma de los logaritmos de los factores. En este caso hay un cambio dialéctico, pues el producto es reemplazado por la suma, que en el fondo es una simplificación operativa y facilita enormente los respectivos cálculos.
==Bibliografía==
* Rea Ravelo Introducción a la lógica
* Paul Halmos Teoría intuitiva de conjuntos
* Herstein Álgebra Moderna

[[Categoría: Matemáticas]]

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-'''La distributividad''' o '''a propiedad distributiva''' es una ley matemática que aparece para ligar dos operaciones definidas en un conjunto: las que podemos llamar ''suma'' y ''producto''. La primera vez que nos encontramos es en el caso de los números naturales cuando queremos multiplicar la  suma indicada de dos naturales por un tercer número.
+{{Definición
 ==Definición==
 En forma generalizada sean el conjunto S, en el que hemos definido la suma indicada por + y el producto con ×.
-:::: Para los elementos m,n,p se S, se tiene m×(n+p) = m×n + m×p que se llama '''propiedad distributiva por la derecha'''
+:::: Para los elementos m,n,p de S, se tiene m×(n+p) = m×n + m×p que se llama '''propiedad distributiva por la derecha'''
 :::: Con los elementos dados y el mismo conjunto, se tiene la variante: (n+p)×m = n×m + p×n, '''propiedad distributiva por la izquierda'''.
 Es necesario considerar estos dos casos, que resultan diferentes cuando el producto no es conmutativo.
 :Si la distributividad funciona por ambos lados se dice simplemente '''propiedad distributiva'''.
 ==Diversos casos==
-. En los diversos sistemas numéricos: de los naturales, de los enteros, de los racionales, de los reales, de los complejos se cumple para los números a, b y c:
+. En los diversos sistemas numéricos: de los [[número natural|naturales]], de los [[número entero|enteros]], de los [[número racional|racionales]], de los [[número real|reales]], de los [[número complejo|complejos]] se cumple para los números a, b y c:
 :::: a×(b+c) = a×b + a×c
 :::: a×(b-c) = a×b - a×c
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 ::::  I(f+g) = If +Ig
 ::::  I(f-g) = Df - Dg
-: En el caso del logaritmo de dos números positivos no funciona la distributividad, pero sí ocurre que el logaritmo de una potencia es igual a la suma de los logaritmos de los factores. En este caso hay un cambio dialéctico, pues el producto es reemplazado por la suma, que en el fondo es una simplificación operativa y facilita enormemente los respectivos cálculos.
+: En el caso del [[logaritmo]] de dos números positivos no funciona la distributividad, pero sí ocurre que el logaritmo de una potencia es igual a la suma de los logaritmos de los factores. En este caso hay un cambio dialéctico, pues el producto es reemplazado por la suma, que en el fondo es una simplificación operativa y facilita enormemente los respectivos cálculos.
 . Para los vectores, elementos de un espacio vectorial donde hay diferentes productos, estos son distributivos respecto a la suma de vectores.
-:::: para el producto por un escalar a(V + W) = aV + aW, donde a es un esalar ( número real o complejo),  V y W son vectores
+:::: para el producto por un escalar a(V + W) = aV + aW, donde a es un esalar ( número real o complejo),  V y W son [[vector]]es
 :::: para el producto escalar de vectores V•(U + W) = V•U + V•W, U, V, W son vectores
 :::: Para el producto vectorial de vectores en R<sup>3</sup>  V×(U + W) = V×U + V×W distributiva por la izquierda

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		+	[[Categoría: Conjuntos]]
		+	[[Categoría: Lógica de proposiciones]]

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 :Si la distributividad funciona por ambos lados se dice simplemente '''propiedad distributiva'''.
 ==Diversos casos==
-#1 En los diversos sistemas numéricos: de los naturales, de los enteros, de los racionales, de los reales, de los complejos se cumple para los números a, b y c:
+. En los diversos sistemas numéricos: de los naturales, de los enteros, de los racionales, de los reales, de los complejos se cumple para los números a, b y c:
 :::: a×(b+c) = a×b + a×c
 :::: a×(b-c) = a×b - a×c
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 :::: (ab)<sup>n</sup> = a<sup>n</sup>b<sup>n</sup>, la potencia de un producto es igual al producto de las potencias.
 :::: (a÷b)<sup>n</sup> = a<sup>n</sup> ÷ b<sup>n</sup>,  la potencia de un cociente es igual al cociente de las potencias.
-:::: Se cumple también que la raíz n-ésima de un producto ( cociente) es igual al producto ( cociente) de las raíces n-esimas
+:::: Se cumple también que la raíz n-ésima de un producto ( cociente) es igual al producto ( cociente) de las raíces n-ésimas
-#2 En el caso de los conectivos lógicos disyunción inclusiva ( V) y conjunción (y), se tienen
+. En el caso de los conectivos lógicos disyunción inclusiva ( V) y conjunción (y), se tienen
 :::: pv(qyr) = pvq y pyr
 :::: py(qvr) = pyq v qyr, como ambas son conmutativas respecto a la disyunción inclusiva y a a la conjunción hay distributividad por la derecha y por la izquierda
 :::: py(q * r) = p y q * p y r la conjunción ''y'' es distributiva respecto a la disyunción exclusiva *
-#3 Para la unión e intersección de conjuntos también se cumple, con paralelismo pleno,  en los tres casos:
+. Para la unión e intersección de conjuntos también se cumple, con paralelismo pleno,  en los tres casos:
 :::: Unión respecto a la intersección
 :::: Intersección respecto a la unión
 :::: Intersección respecto a la diferencia simétrica.
-#4  Para la suma y resta y la derivación D de funciones reales. Lo mismo que la suma y resta y la integral indefinida I de funciones reales:
+.  Para la suma y resta y la derivación D de funciones reales. Lo mismo para la suma y resta y la integral indefinida I de funciones reales:
 ::::: D(f+g) = Df + Dg
 ::::  D(f-g) = Df  -Dg
 ::::  I(f+g) = If +Ig
 ::::  I(f-g) = Df - Dg
-: En el caso del logaritmo de dos números positivos no funciona la distributividad, pero sí ocurre que el logaritmo de una potencia es igual a la suma de los logaritmos de los factores. En este caso hay un cambio dialéctico, pues el producto es reemplazado por la suma, que en el fondo es una simplificación operativa y facilita enormente los respectivos cálculos.
+: En el caso del logaritmo de dos números positivos no funciona la distributividad, pero sí ocurre que el logaritmo de una potencia es igual a la suma de los logaritmos de los factores. En este caso hay un cambio dialéctico, pues el producto es reemplazado por la suma, que en el fondo es una simplificación operativa y facilita enormemente los respectivos cálculos.
 ==Bibliografía==
 * Rea Ravelo Introducción a la lógica