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{{Definición
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'''Espiral logarítmica''', es una clase de curva [[Espiral|espiral]] que aparece frecuentemente en la naturaleza. Fue descrita por primera vez por Descartes y posteriormente investigada por Jakob Bernoulli, quien la llamó, "la espiral maravillosa".

== Definición ==

Una [[Espiral|espiral]] logarítmica, espiral equiangular o espiral de crecimiento es la curva definida por un objeto que se mueve con velocidad lineal constante y velocidad angular.
La característica fundamental de esta espiral es que la expansión y la rotación tienen un vínculo geométrico o exponencial. La distancia entre las espiras aumenta mucho más rápidamente que la rotación.
Otros nombres que recibe esta espiral es la de equiangular o geométrica; el primer nombre lo recibe ya que el mismo ángulo de giro, puestos a construirla, crece en progresión aritmética, mientras que el segundo nombre lo recibe por el radio que crece en progresión geométrica.
Este espiral es el que mas podemos observar en la naturaleza, en el reino vegetal, en las formas de las galaxias, en las conchas de algunas especies de moluscos, etc. Es también usado en el arte desde épocas prehistóricas.

== Historia ==

Aparece por primera vez en un escrito de Descartes, en 1638, aunque fue bautizada así por Jackob Bernouilli, en un trabajo suyo donde fascinado por la belleza de esta curva la llama "Spira mirabilis" , tanto le gustó que la hizo grabar en su tumba, pero en vez de poner el dibujo de la espiral logarítmica, pusieron el dibujo de la espiral de Arquímedes .

Jakob Bernoulli escribió que la espiral logarítmica puede ser utilizada como un símbolo, bien de fortaleza y constancia en la adversidad, o bien como símbolo del cuerpo humano, el cual, después de todos los cambios y mutaciones, incluso después de la muerte, será restaurado a su Ser perfecto y exacto

Torricelli trabajó en ella independientemente y encontró la longitud de la curva .

== Ecuaciones ==

* La [[Ecuación|Ecuación]] en coordenadas polares (r,θ) es:

<big>r = ab<sup>θ</sup>
</big>
o también:
<big>θ=log<sub>b</sub>(r/a)</big>, de aquí el nombre logarítmica.

* La ecuación en forma paramétrica es:

<big>
x(θ)=ab<sup>θ</sup>cos(θ)

y(θ)=ab<sup>θ</sup>sin(θ)</big>

== Aplicaciones ==

== Construcción ==

Para construir una espiral logarítmica se puede proceder de la siguiente forma:
ei construye sucesivamente rectángulos áureos, es decir trazamos cuadrados dentro de un rectángulo original unas cinco veces obtendremos cinco cuadrados dentro de dicho rectángulo. Si tenemos esto lo que debemos hacer es apoyar un compás en el punto c1, tal cual se muestra en la figura y luego trazar un cuarto de círculo en el cuadrado, de esto forma repetimos este paso en los puntos c2, c3, c4 y c5, obteniendo así la espiral logarítmica.
[[Image:Constr_espiral_log.jpg|thumb|right|trazado de la espiral]]

== Veáse también ==

*[[Parábola|Parábola]]

*[[Hipérbola|Hipérbola]]

*[[Circunferencia|Circunferencia]]

*[[Elipse|Elipse]]

*[[Cisoide de Diocles|Cisoide de Diocles]]

*[[Estrofoide|Estrofoide]]

*[[Lemniscata de Bernoulli|Lemniscata de Bernoulli]]

*[[Folium de Descartes|Folium de Descartes]]

*[[Hipocicloide|Hipocicloide]]

*[[Cardioide|Cardioide]]

*[[Espiral|Espiral]]

*[[Espiral hiperbólica|Espiral hiperbólica]]

== Fuentes ==
* [http://es.wikipedia.org/wiki/Espiral_de_Arqu%C3%ADmedes Espiral de Arquímedes].
* [http://simetria.dim.uchile.cl/matematico/nodo212.html La espiral Uniforme o de Arquímedes]

[[Category:Matemáticas]][[Category:Geometría]]

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-'''Espiral logarítmica''', es una clase de curva [[Espiral|espiral]]  que aparece frecuentemente en la [[Naturaleza|naturaleza]]. Fue descrita por primera  vez por [[Descartes|Descartes]] y posteriormente investigada por [[Jakob Bernoulli|Jakob Bernoulli]], quien la  llamó, "la espiral maravillosa".
+'''Espiral logarítmica''', es una clase de curva [[Espiral|espiral]]  que aparece frecuentemente en la [[Naturaleza|naturaleza]]. Fue descrita por primera  vez por [[Descartes|Descartes]] y posteriormente investigada por [[Jacob_Bernoulli|Jakob Bernoulli]], quien la  llamó, "la espiral maravillosa".
 == Definición ==
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 Una [[Espiral|espiral]]   logarítmica, espiral equiangular o espiral de crecimiento es la curva definida por un objeto que se mueve  con [[Velocidad|velocidad]] lineal constante y velocidad angular.
-La característica fundamental de esta espiral es que la expansión y la rotación tienen un vínculo geométrico o exponencial. La distancia entre las espiras aumenta mucho más rápidamente que la rotación.
+La característica fundamental de esta espiral es que la expansión y la rotación tienen un vínculo [[Geometría|geométrico]]  o exponencial. La distancia entre las espiras aumenta mucho más rápidamente que la rotación.
 Otros nombres que recibe esta espiral es la de equiangular o geométrica; el primer nombre lo recibe ya que el mismo [[Ángulo|ángulo]] de giro, puestos a construirla, crece en progresión [[Aritmética|aritmética]], mientras que el segundo nombre lo recibe por el radio que crece en progresión geométrica.
-Este espiral es el que mas podemos observar en la naturaleza, en el reino vegetal, en las formas de las [[Galaxias|galaxias]], en las [[Conchas|conchas]] de algunas especies de [[Moluscos|moluscos]], etc. Es también usado en el [[Arte|arte]] desde épocas prehistóricas.
+Este espiral es el que mas podemos observar en la naturaleza, en el reino vegetal, en las formas de las [[Galaxias_espirales|galaxias]], en las [[Concha|conchas]] de algunas especies de [[Moluscos|moluscos]], etc. Es también usado en el [[Arte|arte]] desde épocas prehistóricas.
 == Historia ==
-Aparece por primera vez en un escrito de  [[Descartes]], en [[1638]], aunque fue bautizada así por [[Jackob Bernouilli]], en un trabajo suyo donde fascinado por la belleza de esta curva la llama "Spira mirabilis" , tanto le gustó que la hizo grabar en su tumba, pero en vez de poner el dibujo de la espiral logarítmica, pusieron el dibujo de la [[Espiral de Arquímedes|espiral de Arquímedes]] .
+Aparece por primera vez en un escrito de  [[Descartes]], en [[1638]], aunque fue bautizada así por [[Jacob_Bernoulli|Jakob Bernoulli]], en un trabajo suyo donde fascinado por la belleza de esta curva la llama "Spira mirabilis" , tanto le gustó que la hizo grabar en su tumba, pero en vez de poner el dibujo de la espiral logarítmica, pusieron el dibujo de la [[Espiral de Arquímedes|espiral de Arquímedes]] .
 Jakob Bernoulli escribió que la espiral logarítmica puede ser utilizada como un símbolo, bien de fortaleza y constancia en la adversidad, o bien como símbolo del cuerpo [[humano]], el cual, después de todos los cambios y mutaciones, incluso después de la muerte, será restaurado a su Ser perfecto y exacto
-[[Torricelli]]  trabajó en ella independientemente y encontró la longitud de la curva .
+[[Evangelista_Torricelli|Torricelli]] estudio sistematicamente las propiedades fundamentales de la espiral logarítmica (llamada por el geométrica), el trazado de cada uno de sus arcos y la cuadratura de la superficie limitada por la curva.
 == Ecuaciones  ==
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 y(θ)=ab<sup>θ</sup>sin(θ)</big>
 == Construcción ==
 Para construir una espiral logarítmica se puede proceder de la siguiente forma:
- Se construyen sucesivamente rectángulos áureos, es decir trazamos cuadrados dentro de un rectángulo original unas cinco veces obtendremos cinco cuadrados dentro de dicho rectángulo. Si tenemos esto lo que debemos hacer es apoyar un compás en el punto c1, tal cual se muestra en la figura y luego trazar un cuarto de círculo en el cuadrado, de esto forma repetimos este paso en los puntos c2, c3, c4 y c5, obteniendo así la espiral logarítmica.
+Se construyen sucesivamente rectángulos áureos, es decir trazamos cuadrados dentro de un rectángulo original unas cinco veces obtendremos cinco cuadrados dentro de dicho rectángulo. Si tenemos esto lo que debemos hacer es apoyar un compás en el punto c1, tal cual se muestra en la figura y luego trazar un cuarto de círculo en el cuadrado, de esto forma repetimos este paso en los puntos c2, c3, c4 y c5, obteniendo así la espiral logarítmica.
 [[Image:Constr_espiral_log.jpg|thumb|right|trazado de la espiral]]
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 *[[Espiral hiperbólica|Espiral hiperbólica]]
 == Fuentes  ==

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 <big>r = ab<sup>θ</sup>
 </big>
 o también:
 <big>θ=log<sub>b</sub>(r/a)</big>, de aquí el nombre logarítmica.
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 == Construcción ==
 Para construir una espiral logarítmica se puede proceder de la siguiente forma:
 Se construyen sucesivamente rectángulos áureos, es decir trazamos cuadrados dentro de un rectángulo original unas cinco veces obtendremos cinco cuadrados dentro de dicho rectángulo. Si tenemos esto lo que debemos hacer es apoyar un compás en el punto c1, tal cual se muestra en la figura y luego trazar un cuarto de círculo en el cuadrado, de esto forma repetimos este paso en los puntos c2, c3, c4 y c5, obteniendo así la espiral logarítmica.
 == Veáse también  ==

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-'''Espiral logarítmica''', es una clase de curva [[Espiral|espiral]]  que aparece frecuentemente en la naturaleza. Fue descrita por primera  vez por Descartes y posteriormente investigada por Jakob Bernoulli, quien la  llamó, "la espiral maravillosa".
+'''Espiral logarítmica''', es una clase de curva [[Espiral|espiral]]  que aparece frecuentemente en la [[Naturaleza|naturaleza]]. Fue descrita por primera  vez por [[Descartes|Descartes]] y posteriormente investigada por [[Jakob Bernoulli|Jakob Bernoulli]], quien la  llamó, "la espiral maravillosa".
 == Definición ==
-Una [[Espiral|espiral]]   logarítmica, espiral equiangular o espiral de crecimiento es la curva definida por un objeto que se mueve  con velocidad lineal constante y velocidad angular.
+Una [[Espiral|espiral]]   logarítmica, espiral equiangular o espiral de crecimiento es la curva definida por un objeto que se mueve  con [[Velocidad|velocidad]] lineal constante y velocidad angular.
 La característica fundamental de esta espiral es que la expansión y la rotación tienen un vínculo geométrico o exponencial. La distancia entre las espiras aumenta mucho más rápidamente que la rotación.
 Otros nombres que recibe esta espiral es la de equiangular o geométrica; el primer nombre lo recibe ya que el mismo ángulo de giro, puestos a construirla, crece en progresión aritmética, mientras que el segundo nombre lo recibe por el radio que crece en progresión geométrica.
-Este espiral es el que mas podemos observar en la naturaleza, en el reino vegetal, en las formas de las galaxias, en las conchas de algunas especies de moluscos, etc. Es también usado en el arte desde épocas prehistóricas.
+Otros nombres que recibe esta espiral es la de equiangular o geométrica; el primer nombre lo recibe ya que el mismo [[Ángulo|ángulo]] de giro, puestos a construirla, crece en progresión [[Aritmética|aritmética]], mientras que el segundo nombre lo recibe por el radio que crece en progresión geométrica.
 == Historia ==
-Aparece por primera vez en un escrito de  Descartes, en 1638, aunque fue bautizada así por Jackob Bernouilli, en un trabajo suyo donde fascinado por la belleza de esta curva la llama "Spira mirabilis" , tanto le gustó que la hizo grabar en su tumba, pero en vez de poner el dibujo de la espiral logarítmica, pusieron el dibujo de la espiral de Arquímedes .
+Aparece por primera vez en un escrito de  [[Descartes]], en [[1638]], aunque fue bautizada así por [[Jackob Bernouilli]], en un trabajo suyo donde fascinado por la belleza de esta curva la llama "Spira mirabilis" , tanto le gustó que la hizo grabar en su tumba, pero en vez de poner el dibujo de la espiral logarítmica, pusieron el dibujo de la [[Espiral de Arquímedes|espiral de Arquímedes]] .
-Jakob Bernoulli escribió que la espiral logarítmica puede ser utilizada como un símbolo, bien de fortaleza y constancia en la adversidad, o bien como símbolo del cuerpo humano, el cual, después de todos los cambios y mutaciones, incluso después de la muerte, será restaurado a su Ser perfecto y exacto
+Jakob Bernoulli escribió que la espiral logarítmica puede ser utilizada como un símbolo, bien de fortaleza y constancia en la adversidad, o bien como símbolo del cuerpo [[humano]], el cual, después de todos los cambios y mutaciones, incluso después de la muerte, será restaurado a su Ser perfecto y exacto
-Torricelli  trabajó en ella independientemente y encontró la longitud de la curva .
+[[Torricelli]]  trabajó en ella independientemente y encontró la longitud de la curva .
 == Ecuaciones  ==
 * La [[Ecuación|Ecuación]] en coordenadas polares (r,θ) es:
 <big>r = ab<sup>θ</sup>
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 <big>
 x(θ)=ab<sup>θ</sup>cos(θ)
 y(θ)=ab<sup>θ</sup>sin(θ)</big>
 == Aplicaciones  ==
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 Para construir una espiral logarítmica se puede proceder de la siguiente forma:
-  ei construye sucesivamente rectángulos áureos, es decir trazamos cuadrados dentro de un rectángulo original unas cinco veces obtendremos cinco cuadrados dentro de dicho rectángulo. Si tenemos esto lo que debemos hacer es apoyar un compás en el punto c1, tal cual se muestra en la figura y luego trazar un cuarto de círculo en el cuadrado, de esto forma repetimos este paso en los puntos c2, c3, c4 y c5, obteniendo así la espiral logarítmica.
+  Se construyen sucesivamente rectángulos áureos, es decir trazamos cuadrados dentro de un rectángulo original unas cinco veces obtendremos cinco cuadrados dentro de dicho rectángulo. Si tenemos esto lo que debemos hacer es apoyar un compás en el punto c1, tal cual se muestra en la figura y luego trazar un cuarto de círculo en el cuadrado, de esto forma repetimos este paso en los puntos c2, c3, c4 y c5, obteniendo así la espiral logarítmica.
 [[Image:Constr_espiral_log.jpg|thumb|right|trazado de la espiral]]
 == Veáse también  ==
 *[[Espiral|Espiral]]
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 == Fuentes  ==
-* [http://es.wikipedia.org/wiki/Espiral_de_Arqu%C3%ADmedes Espiral de Arquímedes].
-* [http://simetria.dim.uchile.cl/matematico/nodo212.html La espiral Uniforme o de Arquímedes]
+* [http://es.wikipedia.org/wiki/Espiral_logar%C3%ADtmica Espiral logarítmica].
 [[Category:Matemáticas]][[Category:Geometría]]