Función exponencial compleja - Historial de revisiones

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{{Definición|nombre=Función exponencial compleja|imagen=Matematica.jpg|concepto=Función exponencial con argumento complejo.}}

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'''Función exponencial compleja'''. En [[Matemáticas]] y más específicamente [[Análisis matemático]] es la versión de la [[función exponencial]] sobre el [[conjunto]] de los [[números complejos]].

La misma se basa en la representación exponencial de los números complejos y su relación con la forma trigonométrica. Es de vital importancia en la formulación de otras funciones complejas como el [[logaritmo complejo|logaritmo]], las funciones trigonométricas complejas, las funciones trigonométricas hiperbólicas complejas y otras.

==Definición==

A la función [[Archivo:Definicion_exponencial_compleja.gif|middle]], ''x=a+bi'', expresada en forma de cálculo por:

* [[Archivo:Definicion_exponencial_compleja_formula.gif|middle]]

se le denomina '''función exponencial compleja''' y también se denota ''exp(x)'' donde ''x'' es un argumento complejo.

==Propiedades==

La definición antes vista, que no es otra que la relación entre las representaciones exponencial y trigonométricas de los complejos, cumple todas las propiedades que cumplía en los reales, excepto aquellas relacionadas con el ordenamiento porque los números complejos no son un conjunto ordenado. A saber:

* ''e<sup>x+y</sup>=e<sup>x+y</sup>''
* ''(e<sup>x</sup>)<sup>y</sup>=e<sup>xy</sup>''
* [[Archivo:Propiedad_exponencial_compleja_inversa.gif|middle]]
* [[Archivo:Propiedad_exponencial_compleja_radicacion.gif|middle]]
* [[Archivo:Propiedad_exponencial_compleja_logaritmacion.gif|middle]]

==Importancia==

La ley de Euler establece un importante vínculo entre la trigonometría y el cálculo, al asociar la exponenciación de la parte imaginaria compleja con la representación de un complejo cuyo módulo es 1. Esta es la base para la representación exponencial de complejos y como base demostrativa para la Ley de Moivre; esto sin excluir el hecho de clarificar el procedimiento para exponenciar complejos, calcular raíces, determinar logaritmos de argumentos negativos y facilitar el trabajo del cálculo computacional de las funciones trigonométricas.

===Desarrollo en series potencias de Taylor===

Cuando por ejemplo se desarrolla la exponenciación en series de potencias de Taylor tenemos:

* [[Archivo:Exponenciacion_serie_Taylor.gif|middle]]

pero en el caso de un exponenciacion con un imaginario ''ix'', la expresión previa quedaría:

* [[Archivo:Exponenciacion_compleja_serie_Taylor.gif|middle]]

se agrupan las partes reales e imaginarias como sigue:

* [[Archivo:Exponenciacion_compleja_serie_Taylor_agrupada.gif|middle]]

entonces las expresiones reales se asocian al [[coseno]] y las imaginarias al [[seno]]:

* [[Archivo:Definicion_coseno_serie_Taylor.gif|middle]]

* [[Archivo:Definicion_seno_serie_Taylor.gif|middle]]

siendo de gran ayuda para el cálculo numérico de los valores de cualquiera de ellas y para su implementación computacional.

===Logaritmos de reales negativos===

Ya sabemos que la suma de dos logaritmos es el logaritmo del producto de ambos argumentos:

* [[Archivo:Logaritmo_propiedad_suma.gif|middle]]

Entonces para un negativo ''-x'', la propiedad anterior queda:

* [[Archivo:Logaritmo_propiedad_suma_menos_x.gif|middle]]

de manera que el escollo estaría en resolver ''ln(-1)''. Pero la [[identidad de Euler]] nos expresa que su solución es:

* [[Archivo:Logaritmo_menos_1_igual_i_pi.gif|middle]]

y al final el logaritmo de ''-x'' se calcula mediante la expresión:

* [[Archivo:Logaritmo_menos_x_definicion.gif|middle]]

==Veáse también==

* [[Números complejos]].
* [[Ley de Euler]].
* [[Función exponencial]].

* [[Logaritmo complejo]].

==Fuentes==

* I. Bronshtein, K. Semendiaev. Manual de matemáticas para ingenieros y estudiantes. 2da Edición. [[Editorial Mir]], [[Moscú]]. [[1973]].

* [http://es.wikipedia.org/wiki/Fórmula_de_Euler]. Disponible en "es.wikipedia.org". Consultado [[1 de diciembre]] de [[2014]].

* [http://es.wikipedia.org/wiki/Identidad_de_Euler]. Disponible en "es.wikipedia.org". Consultado [[1 de diciembre]] de [[2014]].

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[[Categoría:Matemáticas]][[Categoría:Análisis matemático]]

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−	'''Función exponencial compleja'''. En [[Matemáticas]] y más específicamente [[Análisis ~~matemático~~]] es la versión de la [[función exponencial]] sobre el [[conjunto]] de los [[números complejos]].	+	'''Función exponencial compleja'''. En [[Matemáticas]] y más específicamente [[Análisis Matemático]] es la versión de la [[función exponencial]] sobre el [[conjunto]] de los [[números complejos]].

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	====Logaritmos de reales negativos====		====Logaritmos de reales negativos====

−	Para determinar el logaritmo de un real negativo solo tenemos que recurrir a una pequeña argucia de cálculo. Y es que en términos de complejos todo real negativo ''-x'' puede expresarse por el producto ''(-1)x'' o mejor tenemos un módulo ''x'' (evidentemente ''x>0'' si ''-x<0'') por un complejo unitario ''-1+0i=cos b +isen b''. El primer ángulo ''b'' que produce ''cos b =-1'' y ''sen b=0'' es ''180<sup>0</sup>'' o en radianes, [[~~Arhivo~~:Pi.gif\|middle]].	+	Para determinar el logaritmo de un real negativo solo tenemos que recurrir a una pequeña argucia de cálculo. Y es que en términos de complejos todo real negativo ''-x'' puede expresarse por el producto ''(-1)x'' o mejor tenemos un módulo ''x'' (evidentemente ''x>0'' si ''-x<0'') por un complejo unitario ''-1+0i=cos b +isen b''. El primer ángulo ''b'' que produce ''cos b =-1'' y ''sen b=0'' es ''180<sup>0</sup>'' o en radianes, [[Archivo:Pi.gif\|middle]].

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	* [[Archivo:Definicion_seno_exponencial_compleja.gif\|middle]]		* [[Archivo:Definicion_seno_exponencial_compleja.gif\|middle]]

		+	De la misma manera pueden definirse las razones trigonométricas hiperbólicas complejas:
		+
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		+	* [[Archivo:Definicion_ch_exponencial_compleja.gif\|middle]]
		+
		+	* [[Archivo:Definicion_sh_exponencial_compleja.gif\|middle]]

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 '''Función exponencial compleja'''. En [[Matemáticas]] y más específicamente [[Análisis Matemático]] es la versión de la [[función exponencial]] sobre el [[conjunto]] de los [[números complejos]].

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 ==Fuentes==
-* I. Bronshtein, K. Semendiaev. Manual de matemáticas para ingenieros y estudiantes. 2da Edición. [[Editorial Mir]], [[Moscú]]. [[1973]].
+* I. Bronshtein, K. Semendiaev. Manual de matemáticas para ingenieros y estudiantes. 2da Edición. [[Editorial MIR]], [[Moscú]]. [[1973]].
 * [http://es.wikipedia.org/wiki/Fórmula_de_Euler]. Disponible en "es.wikipedia.org". Consultado [[1 de diciembre]] de [[2014]].

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 ==Definición==
 A la función [[Archivo:Definicion_exponencial_compleja.gif|middle]], ''x=a+bi'', expresada en forma de cálculo por:
 * [[Archivo:Definicion_exponencial_compleja_formula.gif|middle]]
 se le denomina '''función exponencial compleja''' y también se denota ''exp(x)'' donde ''x'' es un argumento complejo.
 ==Propiedades==
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 ==Importancia==
 La ley de Euler establece un importante vínculo entre la trigonometría y el cálculo, al asociar la exponenciación de la parte imaginaria compleja con la representación de un complejo cuyo módulo es 1.
 Esta es la base para la representación exponencial de complejos y como base demostrativa para la Ley de Moivre; sin excluir el hecho de clarificar el procedimiento para exponenciar complejos, calcular raíces, determinar logaritmos de argumentos negativos y facilitar el trabajo del cálculo computacional de las funciones trigonométricas.
 ===Desarrollo en series potencias de Taylor===
 Cuando por ejemplo se desarrolla la exponenciación en series de potencias de Taylor tenemos:
 * [[Archivo:Exponenciacion_serie_Taylor.gif|middle]]
 pero en el caso de un exponenciacion con un imaginario ''ix'', la expresión previa quedaría:
@@ Línea 71: / Línea 55: @@
 * [[Archivo:Exponenciacion_compleja_serie_Taylor.gif|middle]]
 se agrupan las partes reales e imaginarias como sigue:
 * [[Archivo:Exponenciacion_compleja_serie_Taylor_agrupada.gif|middle]] (1)
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 ===Relación con la trigonometría===
 Como se ve en la fórmula (1) del epígrafe previo al asociar en el desarrollo de Taylor de ''e<sup>ix</sup>'' las expresiones reales con el [[coseno]] y las imaginarias al [[seno]], debido a la ley de Euler se obtiene:
 * [[Archivo:Definicion_coseno_serie_Taylor.gif|middle]]
 * [[Archivo:Definicion_seno_serie_Taylor.gif|middle]]
 siendo de gran ayuda para el cálculo numérico de los valores de cualquiera de ellas y para su implementación computacional.
 De manera más compacta estas relaciones pueden simplificarse:
 * [[Archivo:Definicion_coseno_exponencial_compleja.gif|middle]]