Lemniscata de Bernoulli - Historial de revisiones

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'''Lemniscata de Bernoulli'''. En matemática, una lemniscata es un tipo de curva descrita por la siguiente ecuación en coordenadas cartesianas:
[[Image:Lemniscata.png]]
== Historia ==
La Lemniscata se considera actualmente como un caso particular de los óvalos estudiados por [[Jean Dominique Cassini]] en [[1680]], pero son [[Jackob Bernoulli]] y [[Johann Bernoulli]] los que la descubrieron y dieron a conocer independientemente, al intentar resolver un problema planteado por [[Leibnitz]] creador, junto con [[Isaac Newton]] del cálculo infinitesimal, que lanzó a la comunidad científica de la época el reto de encontrar la [[ecuación]] de la isócrona paracéntrica. La solución encontrada fue la Lemniscata que en honor a los hermanos Bernoulli paso a denominarse Lemniscata de Bernoulli.

Bernoulli la llamó lemniscus, que en Latín significa "cinta colgante".

La representación gráfica de esta ecuación genera una curva similar a <big>∞</big>. La curva se ha convertido en el símbolo del infinito y es ampliamente utilizada en matemática.

== Definición ==

== Ecuaciones ==

* [[Ecuación|Ecuación]] en coordenadas cartesianas:

[[Image:Lemniscata.png]]

* La ecuación implícita anterior , tiene como [http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_param%C3%A9trica ecuaciones paramétricas] a:

[[Image:EcuacParamEstrofoide.gif]], donde el parámetro t es la [[Tangente|tangente]] del [[Triángulos|triángulo]] BOx.

* La lemniscata puede ser descrita mediante [http://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_polares coordenadas polares] según la siguiente ecuación:

<big>r<sup>2</sup>=a<sup>2</sup>cos2θ</big>
* Análogamente, con coordenadas bipolares su ecuación es:

<big>rrʼ=a<sup>2</sup>/2</big>

== Construcción ==

[[Image:Lemniscataconst.gif|thumb|right|Lemniscata de Bernoulli‎]] Se construye una circunferencia de centro F’, tangente a dos rectas perpendiculares que se cortan en el punto O.

Sea P un punto cualquiera de la circunferencia y Q el punto de intersección entre la semirrecta OP y la circunferencia. Se traza la circunferencia de centro O y radio PQ.

Sea M el punto de intersección de la semirrecta y la circunferencia de centro O.

El lugar geométrico descrito por el punto M y el simétrico de M respecto a O (M’), a medida que P se mueve en la circunferencia de centro F’, es una Lemniscata de Bernuolli.

== Vea también ==

*[[Parábola|Parábola]]

*[[Hipérbola|Hipérbola]]

*[[Circunferencia|Circunferencia]]

*[[Elipse|Elipse]]

*[[Cisoide de Diocles|Cisoide de Diocles]]

== Fuentes ==

* Lemniscata [citado 2011 agosto, 18]; Disponible en:http:http://es.wikipedia.org/wiki/Lemniscata.

*[Ecuaciones Estrofoide[citado 2011 agosto, 18]; Disponible en:http://prepa8.unam.mx/colegios/mate/geogebra/parametricas_i.html ]

[[Category:Matemáticas]][[Category:Geometría]]

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 == Construcción  ==
-[[Image:Lemniscataconst.gif|thumb|right|Lemniscata de Bernoulli‎]] Se construye una [[Circunferencia|circunferencia]] de centro F’, [[Tangente|tangente]] a dos [[Rectas_Perpendiculares|rectas perpendiculares]] que se cortan en el punto O.
+[[Image:lemniscata1.png|thumb|right|Lemniscata de Bernoulli‎]] Se construye una [[Circunferencia|circunferencia]] de centro F’, [[Tangente|tangente]] a dos [[Rectas_Perpendiculares|rectas perpendiculares]] que se cortan en el punto O.
 Sea P un punto cualquiera de la circunferencia y Q el punto de intersección entre la [[Recta|semirrecta OP]] y la circunferencia. Se traza la circunferencia de centro O y radio PQ.

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 '''Lemniscata de Bernoulli'''. En matemática, una lemniscata es un tipo de curva descrita por la siguiente ecuación en [http://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_cartesianas coordenadas cartesianas]:

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 '''Lemniscata de Bernoulli'''. En matemática, una lemniscata es un tipo de curva descrita por la siguiente ecuación en [http://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_cartesianas coordenadas cartesianas]:
 [[Image:Lemniscata.png]]
 == Historia  ==
 La Lemniscata se considera actualmente como un caso     particular de los [http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%93valo óvalos] estudiados por [[Jean Dominique Cassini]] en [[1680]], pero son [[Jackob Bernoulli]]  y [[Johann Bernoulli]] los que     la descubrieron y dieron a conocer independientemente, al intentar resolver un problema     planteado por [[Leibnitz]] creador, junto con [[Isaac Newton]] del cálculo infinitesimal, que lanzó a la comunidad científica     de la época el reto de encontrar la [[ecuación]] de la isócrona paracéntrica. La solución encontrada fue la Lemniscata que en honor a los hermanos Bernoulli paso a denominarse Lemniscata de Bernoulli.

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-'''Lemniscata de Bernoulli'''. En matemática, una lemniscata es un tipo de curva descrita por la siguiente ecuación en coordenadas cartesianas:
+'''Lemniscata de Bernoulli'''. En matemática, una lemniscata es un tipo de curva descrita por la siguiente ecuación en [http://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_cartesianas coordenadas cartesianas]:
 [[Image:Lemniscata.png]]
 == Historia  ==
-La Lemniscata se considera actualmente como un caso     particular de los óvalos estudiados por [[Jean Dominique Cassini]] en [[1680]], pero son [[Jackob Bernoulli]]  y [[Johann Bernoulli]] los que     la descubrieron y dieron a conocer independientemente, al intentar resolver un problema     planteado por [[Leibnitz]] creador, junto con [[Isaac Newton]] del cálculo infinitesimal, que lanzó a la comunidad científica     de la época el reto de encontrar la [[ecuación]] de la isócrona paracéntrica. La solución     encontrada fue la Lemniscata que en honor a los hermanos Bernoulli paso a denominarse     Lemniscata de Bernoulli.
+La Lemniscata se considera actualmente como un caso     particular de los [http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%93valo óvalos] estudiados por [[Jean Dominique Cassini]] en [[1680]], pero son [[Jackob Bernoulli]]  y [[Johann Bernoulli]] los que     la descubrieron y dieron a conocer independientemente, al intentar resolver un problema     planteado por [[Leibnitz]] creador, junto con [[Isaac Newton]] del cálculo infinitesimal, que lanzó a la comunidad científica     de la época el reto de encontrar la [[ecuación]] de la isócrona paracéntrica. La solución encontrada fue la Lemniscata que en honor a los hermanos Bernoulli paso a denominarse Lemniscata de Bernoulli.
 Bernoulli la llamó lemniscus, que en Latín significa "cinta colgante".
-La representación gráfica de esta ecuación genera una curva similar a <big>∞</big>. La curva se ha convertido en el símbolo del infinito y es ampliamente utilizada en matemática.
+La representación gráfica de esta ecuación genera una curva similar a <big>∞</big>. La curva se ha convertido en el símbolo del [http://es.wikipedia.org/wiki/Infinito infinito] y es ampliamente utilizada en matemática.
 == Definición  ==
+Es la curva que se define como el [http://es.wikipedia.org/wiki/Lugar_geom%C3%A9trico lugar geométrico] de los puntos tales que la suma de las distancias desde dos puntos focales es una constante.
 == Ecuaciones  ==
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 [[Image:Lemniscata.png]]
 * La lemniscata puede ser descrita mediante [http://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_polares coordenadas polares] según la siguiente ecuación:
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 == Construcción  ==
-[[Image:Lemniscataconst.gif|thumb|right|Lemniscata de Bernoulli‎]] Se construye una circunferencia de centro F’, tangente a dos rectas perpendiculares que se cortan en el punto O.
+[[Image:Lemniscataconst.gif|thumb|right|Lemniscata de Bernoulli‎]] Se construye una [[Circunferencia|circunferencia]] de centro F’, [[Tangente|tangente]] a dos [[Rectas_Perpendiculares|rectas perpendiculares]] que se cortan en el punto O.
-Sea P un punto cualquiera de la circunferencia y Q el punto de intersección entre la semirrecta OP y la circunferencia. Se traza la circunferencia de centro O y radio PQ.
+Sea P un punto cualquiera de la circunferencia y Q el punto de intersección entre la [[Recta|semirrecta OP]] y la circunferencia. Se traza la circunferencia de centro O y radio PQ.
 Sea M el punto de intersección de la semirrecta y la circunferencia de centro O.
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 *[[Cisoide de Diocles|Cisoide de Diocles]]
 == Fuentes  ==
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 * Lemniscata [citado 2011 agosto, 18]; Disponible en:http:http://es.wikipedia.org/wiki/Lemniscata.
-*[Ecuaciones Estrofoide[citado 2011 agosto, 18]; Disponible en:http://prepa8.unam.mx/colegios/mate/geogebra/parametricas_i.html ]
+* Ecuaciones Lemniscata[citado 2011 agosto, 18]; Disponible en:http://www.librosmaravillosos.com/curvasmaravillosas/curvasmaravillosas.html ]
 [[Category:Matemáticas]][[Category:Geometría]]