Ley de los senos - Historial de revisiones

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La [[Ley]] de los senos desempeña un papel fundamental en la solución de [[Triángulos]] oblicuos([[Triángulos]] sin ángulo recto). Esta ley proporciona la herramienta básica para la solución de [[Triángulos]] oblicuos. Si las cantidades dadas incluyen un lado y el ángulo opuesto, se debe usar la [[Ley]] de los senos de otro modo se inicia con la [[Ley]] de los cosenos. 

{{Definición
|nombre=Ley de los senos
|imagen=Ley_senos.JPG
|tamaño=
|concepto=La razón del Seno de un ángulo con su lado opuesto
es igual a la razón del Seno de cualquiera de
los otros ángulos con su lado opuesto.
}} 

== '''Deducción de la ley''' ==

La ley de los [[Senos]] es relativamente fácil de probar usando las propiedades de los [[Triángulos]] [[Rectángulos]]. Se usará también el hecho  de que sen(180-X)=sen X , lo cual se obtiene fácilmente usando una [[Identidad]] de la diferencia. 

Refiriéndose a los siguientes triángulos se procede como sigue: 

[[Image:Demostración ley senos1.JPG|right|419x367px|Demostración ley senos1.JPG]]sen α=h/a y sen δ=h/b 

Despejando h de cada [[Ecuación]] se obtiene: 

h=a * sen α y h=b * sen δ 

Así, 

a * sen α=b * sen δ 

sen α / b=sen δ / a  (1) 

De manera similar, para cada [[Triángulo]]: 

sen α=m/c y sen α=sen(180-α) 

sen α=m/c y sen α=m/b 

Al despejar m de cada [[Ecuación]], se obtiene: 

m=c * sen α y m=b * sen α 

Así, 

c * sen α=b * sen α 

 sen α / b=sen α / c (2) 

Si se combinan las [[Ecuaciones]] (1) y (2), se obtiene la ley de los senos. 

== '''Teorema''' ==

Ley de los senos: 

[[Image:Teorema ley senos.JPG|245x164px|Teorema ley senos.JPG]][[Image:Ley senos.JPG|210x86px|Ley senos.JPG]]

En otras palabras, la razón del [[Seno]] de un ángulo con su lado opuesto es igual a la razón del [[Seno]] de cualquiera de los otros ángulos con su lado opuesto. 

Por consiguiente, la ley de los [[Senos]] se usa para resolver [[Triángulos]], dando: 

#Dos lados y un ángulo opuesto a uno de ellos(LLA). 
#Dos ángulos y cualquier lado(ALA o AAL). 

== '''Solución para el caso ALA''' ==

[[Image:Teorema ley senos.JPG|right|233x155px|Teorema ley senos.JPG]]Para los valores α=450 , γ=280 y b=120 m 

Solución: 

Se están dando dos ángulos y el lado que los contiene, este es el caso ALA. Encuentre el tercer ángulo, después encuentre los otros dos lados usando la ley de los senos. 

Despeje β: 

α + β + γ =1800 

β=1800 - (α + γ) 

  =1800 -(280 + 450) 

  =1060 

Despeje c: 

sen β / b=sen γ / c 

c=(b * sen γ) / sen β 

  =(1200 * sen 280) / sen 1060 

  =58,6 m 

Despeje a: 

sen α / a=sen β / b 

a=(b * sen α) / sen β  

  =(1200 * sen 450) / sen 1060 

  =88,3 m 

== Solución para el caso LLA ==

[[Image:Teorema ley senos.JPG|right|364x242px|Teorema ley senos.JPG]] Para los valores β=1230 , b=47 cm y c=23 cm: 

Despeje γ: 

sen β / b=sen γ / c 

sen γ=(c * sen β) / b 

γ=sen-1[(230 * sen 1230) / 470] 

  =240 

Despeje α: 

α + β + γ = 1800 

α=1800 - 1230 -240 

  =330 

Despeje a: 

sen β / b=sen α / a 

a=(b * sen α) / sen 1230 

  =(470 * sen 330) / sen 1230 

  =31 cm

== Fuentes ==

*Raymond A. Barnett, Michael R. Ziegler, Karl E. Byleen. [[Precálculo]]: [[Funciones]] y [[Gráficas]] Volumen 2

[[Category:Fundamentos_de_la_Geometría]]

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 |tamaño=
 |concepto= La razón del Seno de un ángulo con su lado opuesto es igual a la razón del Seno de cualquiera de los otros ángulos con su lado opuesto.
-}}<div align="justify">
+}}
 '''Ley de los senos'''. Desempeña un papel fundamental en la solución de [[Triángulos oblicuos]] ([[Triángulos]] sin ángulo recto). Esta ley proporciona la herramienta básica para la solución de Triángulos oblicuos. Si las cantidades dadas incluyen un lado y el [[ángulo opuesto]], se debe usar la [[Ley]] de los senos de otro modo se inicia con la [[Teorema del coseno|Ley de los cosenos]].

@@ Línea 1: / Línea 1: @@
 {{Definición
 |nombre=Ley de los senos
-|imagen=Ley_senos.JPG
+|imagen=Lawofsines.gif
 |tamaño=
 |concepto= La razón del Seno de un ángulo con su lado opuesto es igual a la razón del Seno de cualquiera de los otros ángulos con su lado opuesto.
@@ Línea 13: / Línea 13: @@
 Refiriéndose a los siguientes triángulos se procede como sigue:
-[[Image:Demostración ley senos1.JPG|right|419x367px|Demostración ley senos1.JPG]]sen α=h/a y sen δ=h/b<br>
+[[Image:Ley_de_los_senos.svg.png|right|419x367px|Demostración ley senos1.JPG]]sen α=h/a y sen δ=h/b<br>
 Despejando h de cada [[Ecuación]] se obtiene:<br>
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 Ley de los senos:
-[[Image:Teorema ley senos.JPG|245x164px|Teorema ley senos.JPG]][[Image:Ley senos.JPG|210x86px|Ley senos.JPG]]
+[[Image:Teorema ley senos.JPG|245x164px|Teorema ley senos.JPG]]
 En otras palabras, la razón del seno de un ángulo con su lado opuesto es igual a la razón del seno de cualquiera de los otros ángulos con su lado opuesto.

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 |concepto= La razón del Seno de un ángulo con su lado opuesto es igual a la razón del Seno de cualquiera de los otros ángulos con su lado opuesto.
 }}<div align="justify">
-'''[[Ley]] de los senos'''. Desempeña un papel fundamental en la solución de [[Triángulos]] oblicuos([[Triángulos]] sin ángulo recto). Esta ley proporciona la herramienta básica para la solución de [[Triángulos]] oblicuos. Si las cantidades dadas incluyen un lado y el ángulo opuesto, se debe usar la [[Ley]] de los senos de otro modo se inicia con la [[Ley]] de los cosenos.<br>
+'''Ley de los senos'''. Desempeña un papel fundamental en la solución de [[Triángulos oblicuos]] ([[Triángulos]] sin ángulo recto). Esta ley proporciona la herramienta básica para la solución de Triángulos oblicuos. Si las cantidades dadas incluyen un lado y el [[ángulo opuesto]], se debe usar la [[Ley]] de los senos de otro modo se inicia con la [[Teorema del coseno|Ley de los cosenos]].
-== '''Deducción de la ley'''<br>  ==
+== Deducción de la ley ==
-La ley de los [[Senos]] es relativamente fácil de probar usando las propiedades de los [[Triángulos]] [[Rectángulos]]. Se usará también el hecho&nbsp; de que sen(180-X)=sen X , lo cual se obtiene fácilmente usando una [[Identidad]] de la diferencia.<br>
+La ley de los senos es relativamente fácil de probar usando las propiedades de los [[Triángulo rectángulo|Triángulos rectángulos]]. Se usará también el hecho de que sen(180-X)=sen X , lo cual se obtiene fácilmente usando una [[Identidad]] de la diferencia.
-Refiriéndose a los siguientes triángulos se procede como sigue:<br>
+Refiriéndose a los siguientes triángulos se procede como sigue:
 [[Image:Demostración ley senos1.JPG|right|419x367px|Demostración ley senos1.JPG]]sen α=h/a y sen δ=h/b<br>
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 sen α / b=sen δ / a&nbsp; (1)<br>
-De manera similar, para cada [[Triángulo]]:<br>
+De manera similar, para cada triángulo:<br>
 sen α=m/c y&nbsp;sen α=sen(180-α) <br>
@@ Línea 31: / Línea 31: @@
 sen α=m/c y sen α=m/b<br>
-Al despejar m de cada [[Ecuación]], se obtiene:<br>
+Al despejar m de cada Ecuación, se obtiene:<br>
 m=c * sen α y m=b * sen α<br>
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 &nbsp;sen α / b=sen α / c (2)<br>
-Si se combinan las [[Ecuaciones]] (1) y (2), se obtiene la ley de los senos.<br>
+Si se combinan las ecuaciones (1) y (2), se obtiene la ley de los senos.
-== '''Teorema'''<br>  ==
+== Teorema ==
-Ley de los senos:<br>
+Ley de los senos:
 [[Image:Teorema ley senos.JPG|245x164px|Teorema ley senos.JPG]][[Image:Ley senos.JPG|210x86px|Ley senos.JPG]]
-En otras palabras, la razón del [[Seno]] de un ángulo con su lado opuesto es igual a la razón del [[Seno]] de cualquiera de los otros ángulos con su lado opuesto.<br>
+En otras palabras, la razón del seno de un ángulo con su lado opuesto es igual a la razón del seno de cualquiera de los otros ángulos con su lado opuesto.
-Por consiguiente, la ley de los [[Senos]] se usa para resolver [[Triángulos]], dando:<br>
+Por consiguiente, la ley de los senos se usa para resolver Triángulos, dando:
-#Dos lados y un ángulo opuesto a uno de ellos(LLA).<br>
+#Dos lados y un ángulo opuesto a uno de ellos(LLA).
-#Dos ángulos y cualquier lado(ALA o AAL).<br>
+#Dos ángulos y cualquier lado(ALA o AAL).
-== '''Solución para el caso ALA'''<br>  ==
+== Solución para el caso ALA ==
-[[Image:Teorema ley senos.JPG|right|233x155px|Teorema ley senos.JPG]]Para los valores α=45<sup>0</sup> , γ=28<sup>0</sup> y b=120 m<br>
+[[Image:Teorema ley senos.JPG|right|233x155px|Teorema ley senos.JPG]]Para los valores α=45<sup>0</sup> , γ=28<sup>0</sup> y b=120 m
-Solución:<br>
+Solución:
-Se están dando dos ángulos y el lado que los contiene, este es el caso ALA. Encuentre el tercer ángulo, después encuentre los otros dos lados usando la ley de los senos.<br>
+Se están dando dos ángulos y el lado que los contiene, este es el caso ALA. Encuentre el tercer ángulo, después encuentre los otros dos lados usando la ley de los senos.
-Despeje β:<br>
+Despeje β:
 α + β + γ =180<sup>0</sup> <br>

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 == Fuentes  ==
-*Raymond A. Barnett, Michael R. Ziegler, Karl E. Byleen. [[Precálculo]]: [[Funciones]] y [[Gráficas]] Volumen 2
+*Raymond A. Barnett, Michael R. Ziegler, Karl E. Byleen. [[Precálculo]]: Funciones y Gráficas Volumen 2
 [[Category:Fundamentos_de_la_Geometría]]