Relaciones y funciones - Historial de revisiones

Carlos idict en 16:38 30 abr 2013

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Portal.principe cmg en 15:41 27 abr 2011

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Portal.principe cmg en 15:39 27 abr 2011

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Arian.Perez jc en 14:17 23 abr 2011

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Idalia cmg.jc en 16:22 31 mar 2011

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Idalia cmg.jc en 16:31 24 mar 2011

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Idalia cmg.jc en 21:19 11 mar 2011

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Idalia cmg.jc: /* Definición conjuntual de relación binaria. */

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‎Definición conjuntual de relación binaria.

Idalia cmg.jc en 21:14 11 mar 2011

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 '''Relaciones y Funciones'''. En [[Matemáticas|matemáticas]] una '''Relación''' es la correspondencia de un primer conjunto, llamado Dominio, con un segundo conjunto, llamado Imagen o Codominio, de manera que a cada elemento del Dominio le corresponde uno o más elementos del conjunto Imagen. Por su parte, una '''Función'''aplicación o mapeo f, es una relación entre un conjunto de partida X denominado dominio y un conjunto de llegada Y denominado imagen o codominio de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento imagen f(x). Se denota por: f: X→ Y.
 De las definiciones anteriores podemos deducir que todas las funciones son relaciones, pero no todas las relaciones son funciones.
-En varias ramas del saber humano, al estudiar elementos de determinados conjuntos se encuentran vínculos entre estos, por ejemplo, al estudiar el conjunto de los programas de estudios de los [[JCCE|JCCE]] se encuentra que unos son familiares de otros, o al estudiar los componentes de [[Hard|Hard]] aparecen unos dependientes de otros, muchos de estos vínculos tienen una gran importancia y para formalizar su estudio aparece el concepto de relación, de modo que si [[Microsoft|Microsoft]] [[Access|Access]] es una Unidad del programa de Operador de Microcomputadoras, se plantea que Microsoft&nbsp; Access está relacionado con el programa Operador de [[Microcomputadoras|Microcomputadoras]] por medio de la relación ''es una unidad de''.
+En varias ramas del saber humano, al estudiar elementos de determinados conjuntos se encuentran vínculos entre estos, por ejemplo, al estudiar el conjunto de los programas de estudios de los [[JCCE|JCCE]] se encuentra que unos son familiares de otros, o al estudiar los componentes de [[Hard|Hard]] aparecen unos dependientes de otros, muchos de estos vínculos tienen una gran importancia y para formalizar su estudio aparece el concepto de relación, de modo que si [[Microsoft|Microsoft]] [[Access|Access]] es una Unidad del programa de Operador de Microcomputadoras, se plantea que Microsoft&nbsp; Access está relacionado con el programa Operador de [[Microcomputadora]] por medio de la relación ''es una unidad de''.
 == Par ordenado y conjunto producto ==
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 == Definición conjuntual de relación binaria.<br>  ==
-Si [[Microsoft|Microsoft]] [[Access|Access]] es una Unidad del programa de Operador de [[Microcomputadoras|Microcomputadoras]] , entonces Microsoft Access está relacionado con el programa Operador de Microcomputadoras por medio de la relación ''Unidad de'', analizando este ejemplo desde una perspectiva conjuntual puede observarse que:<br>1.Access pertenece al conjunto de los programas de [[Soft|soft]].<br>2.programa Operador de Microcomputadoras pertenece a los Programas de Soft.<br>3.&lt;Access, Programa de Operador de Microcomputadoras&gt; pertenece a los Programas de Soft<br>4.Cualquier programa del paquete de office del programa Operador de Microcomputadoras que se analice cumplirá con las tres condiciones anteriores.<br>La siguiente definición de relación permite generalizar lo observado: <br>Definición. Sean dos conjuntos A y B no necesariamente distintos, se llama '''relación binaria de A en B '''(se denota por R) a un subconjunto de pares ordenados de A x B; es decir,&nbsp;; A recibe el nombre de conjunto de partida u origen y B conjunto de llagada o codominio.<br>Si A = B entonces se dice que R es una relación binaria definida en A.<br>Ejemplo: Construya una relación de A en B si A= {1, 2, b} y B= {3, 4, c}.<br>Respuesta: Una posible relación es R= {&lt;1,3&gt;, &lt;2,3&gt;, &lt;b, c&gt;, &lt;2, c&gt;, &lt;1, c&gt;} <br>En el ejemplo anterior, todos los elementos del conjunto de partida (A) están involucrados en algún par de la relación, pero esto no tiene que ser necesariamente así, obsérvese el siguiente conjunto:<br>S = {&lt;1, 3&gt;, &lt;b, 3&gt;, &lt;b, c&gt;, &lt;b, 4&gt;, &lt;1, c&gt;}<br>S es también una relación definida de A en B, sin embargo el 2, que es elemento de A no aparece como primer elemento de ningún par de S, en tal caso se dice que 2 no pertenece al dominio de S.<br>Definición. Recibe el nombre de '''dominio de R''' y se denota D(R) el conjunto de todos los elementos que aparecen como primer elemento en algún par de R.<br>D(R) = {x / existe al menos un elemento y, tal que &lt;x, y&gt; pertenece a R}.<br>En el ejemplo anterior se tiene que D(R) = {1, 2, b} = A, mientras D(S)= {1, b}<br>Evidentemente siempre el dominio de una relación va a ser un subconjunto de su conjunto de origen. <br>De manera análoga, pero analizando los segundos elementos de los pares se establece la imagen de una relación. <br>Definición. Se conoce como'''Imagen de R''' y se denota I(R) al conjunto de todos los elementos que aparecen como segundo elemento de algún par de R<br>I(R) = {y / existe al menos un elemento x, tal que &lt;x, y&gt; pertenece a R}. <br>Si volvemos al ejemplo anterior podemos decir que I(R) = {3, c}, mientras I(S) = {3, 4, c} = B.<br>Similarmente a como ocurre en el caso del dominio, la imagen de una relación siempre va a ser un subconjunto de su conjunto de llegada. <br>
+Si [[Microsoft|Microsoft]] [[Access|Access]] es una Unidad del programa de Operador de [[Microcomputadora]] , entonces Microsoft Access está relacionado con el programa Operador de Microcomputadoras por medio de la relación ''Unidad de'', analizando este ejemplo desde una perspectiva conjuntual puede observarse que:<br>1.Access pertenece al conjunto de los programas de [[Soft|soft]].<br>2.programa Operador de Microcomputadoras pertenece a los Programas de Soft.<br>3.&lt;Access, Programa de Operador de Microcomputadoras&gt; pertenece a los Programas de Soft<br>4.Cualquier programa del paquete de office del programa Operador de Microcomputadoras que se analice cumplirá con las tres condiciones anteriores.<br>La siguiente definición de relación permite generalizar lo observado: <br>Definición. Sean dos conjuntos A y B no necesariamente distintos, se llama '''relación binaria de A en B '''(se denota por R) a un subconjunto de pares ordenados de A x B; es decir,&nbsp;; A recibe el nombre de conjunto de partida u origen y B conjunto de llagada o codominio.<br>Si A = B entonces se dice que R es una relación binaria definida en A.<br>Ejemplo: Construya una relación de A en B si A= {1, 2, b} y B= {3, 4, c}.<br>Respuesta: Una posible relación es R= {&lt;1,3&gt;, &lt;2,3&gt;, &lt;b, c&gt;, &lt;2, c&gt;, &lt;1, c&gt;} <br>En el ejemplo anterior, todos los elementos del conjunto de partida (A) están involucrados en algún par de la relación, pero esto no tiene que ser necesariamente así, obsérvese el siguiente conjunto:<br>S = {&lt;1, 3&gt;, &lt;b, 3&gt;, &lt;b, c&gt;, &lt;b, 4&gt;, &lt;1, c&gt;}<br>S es también una relación definida de A en B, sin embargo el 2, que es elemento de A no aparece como primer elemento de ningún par de S, en tal caso se dice que 2 no pertenece al dominio de S.<br>Definición. Recibe el nombre de '''dominio de R''' y se denota D(R) el conjunto de todos los elementos que aparecen como primer elemento en algún par de R.<br>D(R) = {x / existe al menos un elemento y, tal que &lt;x, y&gt; pertenece a R}.<br>En el ejemplo anterior se tiene que D(R) = {1, 2, b} = A, mientras D(S)= {1, b}<br>Evidentemente siempre el dominio de una relación va a ser un subconjunto de su conjunto de origen. <br>De manera análoga, pero analizando los segundos elementos de los pares se establece la imagen de una relación. <br>Definición. Se conoce como'''Imagen de R''' y se denota I(R) al conjunto de todos los elementos que aparecen como segundo elemento de algún par de R<br>I(R) = {y / existe al menos un elemento x, tal que &lt;x, y&gt; pertenece a R}. <br>Si volvemos al ejemplo anterior podemos decir que I(R) = {3, c}, mientras I(S) = {3, 4, c} = B.<br>Similarmente a como ocurre en el caso del dominio, la imagen de una relación siempre va a ser un subconjunto de su conjunto de llegada. <br>
 == Propiedades de las relaciones binarias.  ==

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-'''Relaciones y Funciones'''. En [[Matemáticas|matemáticas]] una '''Relación''' es la correspondencia de un primer conjunto, llamado Dominio, con un segundo conjunto, llamado Imagen o Codominio, de manera que a cada elemento del Dominio le corresponde uno o más elementos del conjunto Imagen. Por su parte, una '''Función'''aplicación o mapeo f, es una relación entre un conjunto de partida X denominado dominio y un conjunto de llegada Y denominado imagen o codominio de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento imagen f(x). Se denota por:
+'''Relaciones y Funciones'''. En [[Matemáticas|matemáticas]] una '''Relación''' es la correspondencia de un primer conjunto, llamado Dominio, con un segundo conjunto, llamado Imagen o Codominio, de manera que a cada elemento del Dominio le corresponde uno o más elementos del conjunto Imagen. Por su parte, una '''Función'''aplicación o mapeo f, es una relación entre un conjunto de partida X denominado dominio y un conjunto de llegada Y denominado imagen o codominio de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento imagen f(x). Se denota por: f: X→ Y.
 De las definiciones anteriores podemos deducir que todas las funciones son relaciones, pero no todas las relaciones son funciones.
 En varias ramas del saber humano, al estudiar elementos de determinados conjuntos se encuentran vínculos entre estos, por ejemplo, al estudiar el conjunto de los programas de estudios de los [[JCCE|JCCE]] se encuentra que unos son familiares de otros, o al estudiar los componentes de [[Hard|Hard]] aparecen unos dependientes de otros, muchos de estos vínculos tienen una gran importancia y para formalizar su estudio aparece el concepto de relación, de modo que si [[Microsoft|Microsoft]] [[Access|Access]] es una Unidad del programa de Operador de Microcomputadoras, se plantea que Microsoft&nbsp; Access está relacionado con el programa Operador de [[Microcomputadoras|Microcomputadoras]] por medio de la relación ''es una unidad de''.
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 Para adentrase en el estudio de las relaciones hay que establecer primero dos conceptos fundamentales, el primero de ellos es el par ordenado.
 '''Un par ordenado''' es un objeto matemático compuesto por dos elementos para los cuales se ha fijado un orden específico, la forma de denotarlo se ilustra a continuación:<br>&lt;a, b&gt; Par ordenado que tiene como primer componente a '''a''' y segundo a'''b''' <br>&lt;Luis, José&gt; Par ordenado que tiene como primer componente a '''Luis''' y segundo a'''José '''<br>Con respecto a los pares ordenados hay que enfatizar que existe un orden entre los elementos que los forman, lo que los distingue de simples conjuntos de dos elementos, no es el mismo par &lt;a, b&gt; que &lt;b, a&gt; sin embargo {a, b} y {b, a} representan al mismo conjunto.<br>El segundo concepto que debe establecerse para el estudio de las relaciones es el de conjunto producto:<br>'''Conjunto producto''': Siendo A y B conjuntos, se define como conjunto producto de A y B (A x B) al conjunto de todos los pares ordenados que se tienen como primer componente un elemento del conjunto A y como segundo componente un elemento del conjunto B.<br>A x B = {&lt;x, y&gt;| x pertenece a&nbsp; A, y pertenece a B}<br>Ejemplo: Sea A = {a, b, c} y B = {a, f, h}, construya el conjunto producto A x B.<br>Respuesta: A x B = {&lt;a, a&gt;, &lt;a, f&gt;, &lt;a, h&gt;, &lt;b, a&gt;, &lt;b, f&gt;, &lt;b, h&gt;, &lt;c, a&gt;, &lt;c, f&gt;, &lt;c,h&gt;}<br>

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-{{Normalizar}}
+{{Definición
-{{Materia|nombre=Relaciones y funciones|imagen=|campo a que pertenece=|principales exponentes=}}<br>
+|nombre= Relaciones y Funciones
-En [[Matemáticas|matemáticas]] una '''Relación''' es la correspondencia de un primer conjunto, llamado Dominio, con un segundo conjunto, llamado Imagen o Codominio, de manera que a cada elemento del Dominio le corresponde uno o más elementos del conjunto Imagen.<br>Por su parte, una '''Función,&nbsp;'''aplicación o mapeo f, es una relación entre un conjunto de partida X denominado dominio y un conjunto de llegada Y denominado imagen o codominio de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento imagen f(x). Se denota por:
+'''Relaciones y Funciones'''. En [[Matemáticas|matemáticas]] una '''Relación''' es la correspondencia de un primer conjunto, llamado Dominio, con un segundo conjunto, llamado Imagen o Codominio, de manera que a cada elemento del Dominio le corresponde uno o más elementos del conjunto Imagen. Por su parte, una '''Función'''aplicación o mapeo f, es una relación entre un conjunto de partida X denominado dominio y un conjunto de llegada Y denominado imagen o codominio de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento imagen f(x). Se denota por:
-f: X→ Y. <br> De las definiciones anteriores podemos deducir que todas las funciones son relaciones, pero no todas las relaciones son funciones.<br>En varias ramas del saber humano, al estudiar elementos de determinados conjuntos se encuentran vínculos entre estos, por ejemplo, al estudiar el conjunto de los programas de estudios de los [[JCCE|JCCE]] se encuentra que unos son familiares de otros, o al estudiar los componentes de [[Hard|Hard]] aparecen unos dependientes de otros, muchos de estos vínculos tienen una gran importancia y para formalizar su estudio aparece el concepto de relación, de modo que si [[Microsoft|Microsoft&nbsp;]] [[Access|Access]] es una Unidad del programa de Operador de Microcomputadoras, se plantea que Microsoft&nbsp; Access está relacionado con el programa Operador de [[Microcomputadoras|Microcomputadoras]] por medio de la relación ''es una unidad de''..<br>
+f: X→ Y.
-== Par ordenado y conjunto producto.<br><br>  ==
+De las definiciones anteriores podemos deducir que todas las funciones son relaciones, pero no todas las relaciones son funciones.
-Para adentrase en el estudio de las relaciones hay que establecer primero dos conceptos fundamentales, el primero de ellos es el par ordenado.<br>'''Un par ordenado''' es un objeto matemático compuesto por dos elementos para los cuales se ha fijado un orden específico, la forma de denotarlo se ilustra a continuación:<br>&lt;a, b&gt; Par ordenado que tiene como primer componente a '''a''' y segundo a'''b''' <br>&lt;Luis, José&gt; Par ordenado que tiene como primer componente a '''Luis''' y segundo a'''José '''<br>Con respecto a los pares ordenados hay que enfatizar que existe un orden entre los elementos que los forman, lo que los distingue de simples conjuntos de dos elementos, no es el mismo par &lt;a, b&gt; que &lt;b, a&gt; sin embargo {a, b} y {b, a} representan al mismo conjunto.<br>El segundo concepto que debe establecerse para el estudio de las relaciones es el de conjunto producto:<br>'''Conjunto producto''': Siendo A y B conjuntos, se define como conjunto producto de A y B (A x B) al conjunto de todos los pares ordenados que se tienen como primer componente un elemento del conjunto A y como segundo componente un elemento del conjunto B.<br>A x B = {&lt;x, y&gt;| x pertenece a&nbsp; A, y pertenece a B}<br>Ejemplo: Sea A = {a, b, c} y B = {a, f, h}, construya el conjunto producto A x B.<br>Respuesta: A x B = {&lt;a, a&gt;, &lt;a, f&gt;, &lt;a, h&gt;, &lt;b, a&gt;, &lt;b, f&gt;, &lt;b, h&gt;, &lt;c, a&gt;, &lt;c, f&gt;, &lt;c,h&gt;}<br>
+En varias ramas del saber humano, al estudiar elementos de determinados conjuntos se encuentran vínculos entre estos, por ejemplo, al estudiar el conjunto de los programas de estudios de los [[JCCE|JCCE]] se encuentra que unos son familiares de otros, o al estudiar los componentes de [[Hard|Hard]] aparecen unos dependientes de otros, muchos de estos vínculos tienen una gran importancia y para formalizar su estudio aparece el concepto de relación, de modo que si [[Microsoft|Microsoft]] [[Access|Access]] es una Unidad del programa de Operador de Microcomputadoras, se plantea que Microsoft&nbsp; Access está relacionado con el programa Operador de [[Microcomputadoras|Microcomputadoras]] por medio de la relación ''es una unidad de''.
 == Definición conjuntual de relación binaria.<br>  ==
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 == Referencias ==
-Alejandro Carreiras. «Monografias.com: Ayuda Matemáticas ESO.» (en español) págs. 2. Funciones.<br>
+* Carreiras, Alejandro. Monografias.com: Ayuda Matemáticas ESO.» (en español) págs. 2. Funciones.
 == Enlaces externos ==
-*http://www.profesorenlinea.cl/matematica/Relaciones_y_funciones.html<br>
+* [http://www.profesorenlinea.cl/matematica/Relaciones_y_funciones.html www.profesorenlinea.cl]
-*http://elcentro.uniandes.edu.co/cr/mate/estructural/libro/estructural/node21.html<br>
+* [http://elcentro.uniandes.edu.co/cr/mate/estructural/libro/estructural/node21.html elcentro.uniandes.edu.co]
-*http://www.escolar.com/matem/02relac.htm<br>
+* [http://www.escolar.com/matem/02relac.htm www.escolar.com]
 [[Category:Pedagogía]]

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 == Enlaces externos ==
-−
 *http://www.profesorenlinea.cl/matematica/Relaciones_y_funciones.html<br>
 *http://elcentro.uniandes.edu.co/cr/mate/estructural/libro/estructural/node21.html<br>

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-{{Desarrollo}}{{Materia|nombre=Relaciones y funciones|imagen=|campo a que pertenece=|principales exponentes=}}<br>
+{{Materia|nombre=Relaciones y funciones|imagen=|campo a que pertenece=|principales exponentes=}}<br>
 En [[Matemáticas|matemáticas]] una '''Relación''' es la correspondencia de un primer conjunto, llamado Dominio, con un segundo conjunto, llamado Imagen o Codominio, de manera que a cada elemento del Dominio le corresponde uno o más elementos del conjunto Imagen.<br>Por su parte, una '''Función,&nbsp;'''aplicación o mapeo f, es una relación entre un conjunto de partida X denominado dominio y un conjunto de llegada Y denominado imagen o codominio de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento imagen f(x). Se denota por:
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 Las relaciones que cumplen simultáneamente las propiedades de reflexividad, simetría y transitividad se denominan relaciones de equivalencia y son objeto de especial atención entre las relaciones.<br>Si R es una relación de equivalencia definida en A, entonces los elementos de A se agrupan en subconjuntos disjuntos (cuya intersección es vacía) donde en cada uno de ellos se encuentran elementos que se relacionan entre sí por R, a estos conjuntos se les llama '''clases de equivalencia''' por R. Para comprender lo anterior obsérvese el siguiente ejemplo:<br>Sea A = {1, 2, 3, 4}, R = {&lt;1, 1&gt;, &lt;2, 2&gt;, &lt;3, 3&gt;, &lt;4, 4&gt;, &lt;1, 2&gt;, &lt;,2 1&gt;, &lt;3, 4&gt;, &lt;4,3&gt;}<br>Es fácilmente comprobable que R es una relación de equivalencia definida en A, en este caso, R determina dos clases de equivalencia {1, 2} y {3, 4}, nótese que ningún par está formado por elementos de clases diferentes y que cualquier par que se pueda formar entre elementos de una misma clase pertenece a la relación.<br>Si un elemento x pertenece a una clase de equivalencia A, entonces se dice que A = [x] y a A se le llama clase de equivalencia de x, evidentemente si &lt;x, y&gt; pertenece R entonces [x] = [y]<br><br>
-== Relación inversa y composición de relaciones. ==
+== Relación inversa y composición de relaciones.  ==
 Si se invierte el orden de todos los pares de una relación R definida de A en B, ¿se obtiene una nueva relación? La respuesta es afirmativa, sólo que esta nueva relación sería de B en A, en este caso a la relación obtenida se le llama '''inversa de R''' <br>definición. Sea R una relación entonces se define a partir de R una nueva relación denominada inversa de R de la manera siguiente:<br> inversa de R = {&lt;x, y&gt; / &lt;y, x&gt; pertenece a R}<br>Ejemplo1: Sea R = {&lt;1, 3&gt;, &lt;2, b&gt;, &lt;c, d&gt;}<br> inversa de R = {&lt;3, 1&gt;, &lt;b, 2&gt;, &lt;d, c&gt;} <br>Ejemplo 2: Sea R = {&lt;x, y&gt; / x &gt; y}<br> inversa de R = {&lt;x, y&gt; / x ≤ y}<br>¿Pero, es la inversa, la única operación aplicable a las relaciones? A continuación se describe otro tipo de operación. <br>definición. Si R y S son relaciones tales que el codominio de R es el conjunto de partida de S, entonces se define a partir de R y S una nueva relación denominada la '''compuesta de de R con S''' y se denota por SoR de la manera siguiente:<br>SoR = {&lt;x,y&gt; / existe un z tal que &lt;x, z&gt; pertenece a R y &lt;z, y&gt;pertenece a S}<br>Ejemplo: Sea R = {&lt;2, 1&gt;, &lt;3. 3&gt;, &lt;4, 3&gt;} y S = {&lt;3, 4&gt;, &lt;2, 3&gt;} entonces <br>SoR = {&lt;3, 4&gt;, &lt;4, 4&gt;} y RoS= {&lt;3, 3&gt;, &lt;2, 3&gt;}<br>Nótese que para encontrar la composición de dos relaciones (SoR), se debe buscar para cada para &lt;x, z&gt; de R, aquellos pares de S de la forma &lt;z, y&gt; y por cada uno encontrado se añade a la composición el par &lt;x, y&gt;.
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 == Referencias<br>  ==