Teorema del binomio - Historial de revisiones

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El teorema del binomio es una ecuación que nos dice cómo se desarrolla una expresión de la forma '''(x+y)n''' para algún número natural n. Un binomio no es más que la suma de dos elementos, como '''(x+y)'''. También nos permite saber para un término dado por '''xn-kyk''' cuál es el coeficiente que lo acompaña.

Este teorema es comúnmente atribuido al inventor, físico y matemático inglés sir [[Isaac Newton]]; sin embargo, se han encontrado diversos registros que indican que en el [[Medio Oriente]] ya se conocía su existencia, alrededor del año 1000.

==Historia del teorema del binomio==
A lo largo de la historia, se le ha atribuido a [[Isaac Newton]] la idea del teorema del binomio, por lo que fue bautizado con su nombre, siendo popularmente conocido como el binomio de [[Newton]]. Sin embargo, el descubrimiento no viene de genialidad de este científico reconocido. Fue [[Al-Karjí]] quien aproximadamente durante el año 1000 dio inicio al desarrollo del postulado. Pero para el momento, solo se basaba en algo teórico, aunque si tenía gran validez.

[[Newton]] utilizó estas bases para desarrollar ampliamente el teorema, por lo que decidió aplicar los métodos de [[interpolación]] y [[extrapolación]] de [[John Wallis]]. Realizando ensayos en casos específicos, y usando conceptos de exponentes, logró transformar una expresión polinómica en una [[serie infinita]].

Para [[1665]] amplio la teoría del postulado, alegando que '''n''' podía ser un número racional, y el siguiente año determinando que este exponente podía ser un número negativo. El resultado de aplicar este ensayo, dio a lugar una serie infinita de términos. En el último caso, decidió aplicar el [[triángulo de Pascal]] para resolver el problema con exponentes negativos.

[[Isaac Newton]] pudo detallar que cuando trabajaba con este tipo de números, la seria no tenía final. Con esto, afirmó que al utilizar un exponente negativo, se obtendrá una [[serie infinita]]. Cuando la forma '''(x+y)''' se representaba bajo el binomio '''(1+x'''), el resultado sería válido siempre que el valor de x se ubicara entre '''1''' y '''-1'''. En el caso de que n fuera un número racional, entonces se podrían obtener [[coeficientes binomiales]] para fracciones.

Tras realizar estas investigaciones, [[Newton]] estableció una relación entre las [[series infinitas]] y expresiones polinómicas finitas, deduciendo que en ambas se podía operar del mismo modo. Sin embargo, para el momento él no expresó ningún interés en publicar su investigación. Fue [[John Wallis]] quien mostró al público el teorema, declarando que era una contribución de [[Newton]]. Aun así, mucho tiempo antes de que se realizaran estos aportes, [[Euclides]] en el año [[300 a.C]]. hace referencia al teorema del binomio para '''n=2''' dentro de su ensayo [[Elementos]]. Y [[Stifel]] fue quien presentó por primera vez el término [[coeficiente binomial]].

==Declaración del teorema==
Este teorema establece que cualquier potencia de un binomio '''x+y''' ser expandida en una suma de la forma:
[[Archivo:7c444833988704ad1be603118795a61222d4c92b.png]]
donde
[[Archivo:963a810ba39e3e0725c523d0c98b18f39786ebb2.png]]
es el coeficiente binomial, el cual representa el número de formas de escoger '''k''' elementos de un conjunto con '''n''' elementos.

Usando la fórmula de cálculo de dicho coeficiente, se obtiene la siguiente ecuación:
[[Archivo:022918a5f841c46a3ffec6c0730bc74281f0c114.png]]
Para obtener la expansión de las potencias de una resta, basta con tomar '''-y''' en lugar de '''y''' en los términos con potencias impares:
[[Archivo:2b36efb664c33f3ceb72321088b95bb18140f387.png]]

==Coeficientes binomiales==
El coeficiente de '''xn-kyk''' viene dado por la fórmula
[[Archivo:36259d5dfdc824fef49462a783571b54ab8cdc17.png]]
que se define en términos de la función factorial n!. De manera equivalente, esta fórmula se puede escribir
[[Archivo:1b53b7066cde186276197448b9c7384e18dca34a.png]]
con '''k''' factores tanto en el numerador como en el denominador de la fracción. Aunque esta fórmula implica una fracción, el [[coeficiente binomial]] es en realidad un número entero.

==El triángulo de Pascal==
Utilizando el triángulo de [[Pascal]], se puede emplear el teorema del binomio. Esto se define como la representación de [[coeficientes binomiales]] en forma de triángulo. Si se trabaja con tres dimensiones, se dice que se trata de una pirámide de Pascal o tetraedro de [[Pascal]]. Pasa su construcción se inicia con el número 1 en la punta del triángulo, el cual estará compuestos por nodos que se ubican en filas; la primera será enumerada 0.

Cada nodo de este árbol estará compuesto por un número del triángulo. Al sumarse dos de estos, dará a lugar al número que ocupara otro nodo en la fila de abajo. La fila 0 y la fila 1 siempre estarán compuestas solo por unos, y a partir de la dos, serán la suma de dos términos de la fila anterior.

[[Archivo:Triángulo-de-Pascal.jpg|thumb|center|400px|Triángulo de [[Pascal]]]]

La idea de diseñar este método fue desarrollar las potencias de binomios. Es aquí donde nace la vinculación del triángulo de [[Pascal]] con el teorema del binomio, ya que este último se expresa con la forma '''(x+y)n''', siendo '''x''' y '''y''' cualquier variable, y '''n''' un exponente con valor de un número natural. Es a través de esta fórmula que se puede desarrollar los coeficientes de los nodos de cada fila del triángulo.

==Aplicaciones==
===Identidades de múltiples ángulos===
Para los [[números complejos]], el teorema del binomio se puede combinar con la fórmula de [[De Moivre]] para producir fórmulas de múltiples ángulos para el [[seno]] y el [[coseno]]. Según la fórmula de [[De Moivre]]:

[[Archivo:266020d64fdd0a87833d6e1a547aca69f289df13.png]]

Usando el teorema del binomio, la expresión de la derecha se puede expandir, y luego se pueden tomar las partes real e imaginaria para obtener fórmulas para '''cos(nx)''' y '''sin(nx)'''. Por ejemplo, desde:

[[Archivo:00f4a42bef94f5ea32c935c089bc6066b3eb67dd3.png]]

La fórmula de [[De Moivre]] nos dice que:

[[Archivo:ee572b690cc6e28c7f4d67c2965107beb7e59fd17.png]]

que son las identidades habituales de doble ángulo. Del mismo modo, dado que

[[Archivo:B1ca454c2d40578ddeb2ee667545a157705b4510.png]]

La fórmula de De Moivre rinde

[[Archivo:55ad61b8f63faff5738968943541229eee97efb4.png]]

En general,

[[Archivo:Ca0462603fc93a358b91212929e612d326b43c11.png]]

y

[[Archivo:61b08921a63a30c7f5e06a6b80c9b21ac87b3957.png]]

===Serie para e===
El número '''e''' se define a menudo por la fórmula

[[Archivo:3de79f5ee2d494650fd37239dbf6b99864504c93.png]]

Al aplicar el teorema del binomio a esta expresión se obtiene la serie infinita habitual para '''e'''. En particular:

[[Archivo:69f2abc57791e4fa80bd191afba68fd055ed321a.png]]

El '''k-ésimo''' término de esta suma es

[[Archivo:Ff1f51da5abc3b37abc9d33aac26f394b08c4f6e.png]]

Cuando '''n → ∞''', la expresión racional de la derecha se acerca a 1 , y por lo tanto

[[Archivo:98bf5bae433c544b5e779e6abe04f9ce52481162.png]]

Esto indica que '''e''' se puede escribir como una serie:

[[Archivo:661bb44406247d11db4a81161f8a6f4ad3ff4ca1.png]]

De hecho, dado que cada término de la expansión binomial es una función creciente de '''n''', del teorema de convergencia monótona para series se sigue que la suma de esta serie infinita es igual a '''e'''.

===Probabilidad===
El teorema del binomio está estrechamente relacionado con la función de masa de probabilidad de la distribución binomial negativa. La probabilidad de una colección (contable) de ensayos de [[Bernoulli]] independientes con probabilidad de éxito que no suceda es [[Archivo:Ec25a5651e14c9854b326be4e03657bf6a8fac36.png]]

[[Archivo:3e8118e1c91569e8f922d11a8fb040be0696f0e4.png]]

Un límite superior útil para esta cantidad es [[Archivo:1adc7632a9de8ffd65a9266df86306c17182bfe4.png]]

===En álgebra abstracta===
El teorema binomial es válida más generalmente para dos elementos '''x''' y '''y''' en un anillo , o incluso un semianillo, siempre que '''xy = yx'''. Por ejemplo, es válido para dos matrices '''n × n''', siempre que esas matrices se conmuten; esto es útil para calcular las potencias de una matriz.

El teorema del binomio se puede enunciar diciendo que la secuencia polinomial '''{1, x, x2, x3, ...}''' es de tipo binomial .

===En la cultura popular===
*El teorema del binomio se menciona en la canción del general de división en la ópera cómica [[The Pirates of Penzance]].
*[[Sherlock Holmes]] describe al profesor [[Moriarty]] como habiendo escrito un tratado sobre el teorema del binomio.
*El poeta portugués [[Fernando Pessoa]], utilizando el heterónimo [[Álvaro de Campos]], escribió que "el binomio de Newton es tan hermoso como la [[Venus de Milo]]. La verdad es que pocas personas lo notan".
*En la película de 2014 [[The Imitation Game]], [[Alan Turing]] hace referencia al trabajo de [[Isaac Newton]] sobre el teorema del binomio durante su primer encuentro con el comandante Denniston en [[Bletchley Park]].

==Referencias==
https://www.lifeder.com/teorema-binomio/
https://www.teorema.top/teorema-del-binomio/
https://www.neurochispas.com/wiki/teorema-del-binomio-ejemplos-resueltos/
https://hmong.es/wiki/Binomial_theorem

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	El '''Teorema del binomio''' es una ecuación que nos dice cómo se desarrolla una expresión de la forma '''(x+y)<sup>n</sup>''' para algún número natural n. Un binomio no es más que la suma de dos elementos, como '''(x+y)'''. También nos permite saber para un término dado por '''x<sup>n-k</sup>y<sup>k</sup>''' cuál es el coeficiente que lo acompaña.		El '''Teorema del binomio''' es una ecuación que nos dice cómo se desarrolla una expresión de la forma '''(x+y)<sup>n</sup>''' para algún número natural n. Un binomio no es más que la suma de dos elementos, como '''(x+y)'''. También nos permite saber para un término dado por '''x<sup>n-k</sup>y<sup>k</sup>''' cuál es el coeficiente que lo acompaña.

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 A lo largo de la historia, se le ha atribuido a [[Isaac Newton]] la idea del teorema del binomio, por lo que fue bautizado con su nombre, siendo popularmente conocido como el binomio de [[Newton]]. Sin embargo, el descubrimiento no viene de genialidad de este científico reconocido. Fue [[Al-Karjí]] quien aproximadamente durante el año 1000 dio inicio al desarrollo del postulado. Pero para el momento, solo se basaba en algo teórico, aunque si tenía gran validez.
-[[Newton]] utilizó estas bases para desarrollar ampliamente el teorema, por lo que decidió aplicar los métodos de [[interpolación]] y [[extrapolación]] de [[John Wallis]]. Realizando ensayos en casos específicos, y usando conceptos de exponentes, logró transformar una expresión polinómica en una [[serie infinita]].
+Newton utilizó estas bases para desarrollar ampliamente el teorema, por lo que decidió aplicar los métodos de [[interpolación]] y [[extrapolación]] de [[John Wallis]]. Realizando ensayos en casos específicos, y usando conceptos de exponentes, logró transformar una expresión polinómica en una [[serie infinita]].
-Para [[1665]] amplio la teoría del postulado, alegando que '''n''' podía ser un número racional, y el siguiente año determinando que este exponente podía ser un número negativo. El resultado de aplicar este ensayo, dio a lugar una serie infinita de términos. En el último caso, decidió aplicar el [[triángulo de Pascal]] para resolver el problema con exponentes negativos.
+Para [[1665]] amplio la teoría del postulado, alegando que '''n''' podía ser un número racional, y el siguiente año determinando que este exponente podía ser un número negativo. El resultado de aplicar este ensayo, dio a lugar una serie infinita de términos. En el último caso, decidió aplicar el [[triángulo de Pascal]] para resolver el problema con exponentes negativos y pudo detallar que cuando trabajaba con este tipo de números, la serie no tenía final. Con esto, afirmó que al utilizar un exponente negativo, se obtendrá una serie infinita. Cuando la forma '''(x+y)''' se representaba bajo el binomio '''(1+x'''), el resultado sería válido siempre que el valor de '''x''' se ubicara entre '''1''' y '''-1'''. En el caso de que n fuera un número racional, entonces se podrían obtener [[coeficientes binomiales]] para fracciones.
-[[Isaac Newton]] pudo detallar que cuando trabajaba con este tipo de números, la seria no tenía final. Con esto, afirmó que al utilizar un exponente negativo, se obtendrá una [[serie infinita]]. Cuando la forma '''(x+y)''' se representaba bajo el binomio '''(1+x'''), el resultado sería válido siempre que el valor de '''x''' se ubicara entre '''1''' y '''-1'''. En el caso de que n fuera un número racional, entonces se podrían obtener [[coeficientes binomiales]] para fracciones.
+Tras realizar estas investigaciones, [[Newton]] estableció una relación entre las series infinitas y expresiones polinómicas finitas, deduciendo que en ambas se podía operar del mismo modo. Sin embargo, para el momento él no expresó ningún interés en publicar su investigación. Fue [[John Wallis]] quien mostró al público el teorema, declarando que era una contribución de [[Newton]]. Aun así, mucho tiempo antes de que se realizaran estos aportes, [[Euclides]] en el año [[300&nbsp;a.n.e.]] hace referencia al teorema del binomio para '''n=2''' dentro de su ensayo ''Elementos''. Y [[Stifel]] fue quien presentó por primera vez el término [[coeficiente binomial]].
 ==Declaración del teorema==
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 *https://hmong.es/wiki/Binomial_theorem</br>
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 que son las identidades habituales de doble ángulo. Del mismo modo, dado que</br></br>
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 La fórmula de De Moivre rinde</br></br>

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+El '''Teorema del binomio''' es una ecuación que nos dice cómo se desarrolla una expresión de la forma '''(x+y)<sup>n</sup>''' para algún número natural n. Un binomio no es más que la suma de dos elementos, como '''(x+y)'''. También nos permite saber para un término dado por '''x<sup>n-k</sup>y<sup>k</sup>''' cuál es el coeficiente que lo acompaña.
 Este teorema es comúnmente atribuido al inventor, físico y matemático inglés sir [[Isaac Newton]]; sin embargo, se han encontrado diversos registros que indican que en el [[Medio Oriente]] ya se conocía su existencia, alrededor del año 1000.

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	El teorema del binomio es una ecuación que nos dice cómo se desarrolla una expresión de la forma '''(x+y)<sup>n</sup>''' para algún número natural n. Un binomio no es más que la suma de dos elementos, como '''(x+y)'''. También nos permite saber para un término dado por '''x<sup>n-k</sup>y<sup>k</sup>''' cuál es el coeficiente que lo acompaña.		El teorema del binomio es una ecuación que nos dice cómo se desarrolla una expresión de la forma '''(x+y)<sup>n</sup>''' para algún número natural n. Un binomio no es más que la suma de dos elementos, como '''(x+y)'''. También nos permite saber para un término dado por '''x<sup>n-k</sup>y<sup>k</sup>''' cuál es el coeficiente que lo acompaña.

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 Para [[1665]] amplio la teoría del postulado, alegando que '''n''' podía ser un número racional, y el siguiente año determinando que este exponente podía ser un número negativo. El resultado de aplicar este ensayo, dio a lugar una serie infinita de términos. En el último caso, decidió aplicar el [[triángulo de Pascal]] para resolver el problema con exponentes negativos.
-[[Isaac Newton]] pudo detallar que cuando trabajaba con este tipo de números, la seria no tenía final. Con esto, afirmó que al utilizar un exponente negativo, se obtendrá una [[serie infinita]]. Cuando la forma '''(x+y)''' se representaba bajo el binomio '''(1+x'''), el resultado sería válido siempre que el valor de x se ubicara entre '''1''' y '''-1'''. En el caso de que n fuera un número racional, entonces se podrían obtener [[coeficientes binomiales]] para fracciones.
+[[Isaac Newton]] pudo detallar que cuando trabajaba con este tipo de números, la seria no tenía final. Con esto, afirmó que al utilizar un exponente negativo, se obtendrá una [[serie infinita]]. Cuando la forma '''(x+y)''' se representaba bajo el binomio '''(1+x'''), el resultado sería válido siempre que el valor de '''x''' se ubicara entre '''1''' y '''-1'''. En el caso de que n fuera un número racional, entonces se podrían obtener [[coeficientes binomiales]] para fracciones.
 Tras realizar estas investigaciones, [[Newton]] estableció una relación entre las [[series infinitas]] y expresiones polinómicas finitas, deduciendo que en ambas se podía operar del mismo modo. Sin embargo, para el momento él no expresó ningún interés en publicar su investigación. Fue [[John Wallis]] quien mostró al público el teorema, declarando que era una contribución de [[Newton]]. Aun así, mucho tiempo antes de que se realizaran estos aportes, [[Euclides]] en el año [[300 a.C]]. hace referencia al teorema del binomio para '''n=2''' dentro de su ensayo [[Elementos]]. Y [[Stifel]] fue quien presentó por primera vez el término [[coeficiente binomial]].

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 El teorema del binomio es una ecuación que nos dice cómo se desarrolla una expresión de la forma '''(x+y)<sup>n</sup>''' para algún número natural n. Un binomio no es más que la suma de dos elementos, como '''(x+y)'''. También nos permite saber para un término dado por '''x<sup>n-k</sup>y<sup>k</sup>''' cuál es el coeficiente que lo acompaña.
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 ==Referencias==
-https://www.lifeder.com/teorema-binomio/</br>
+*https://www.lifeder.com/teorema-binomio/</br>
-https://www.teorema.top/teorema-del-binomio/</br>
+*https://www.teorema.top/teorema-del-binomio/</br>
-https://www.neurochispas.com/wiki/teorema-del-binomio-ejemplos-resueltos/</br>
+*https://www.neurochispas.com/wiki/teorema-del-binomio-ejemplos-resueltos/</br>
-https://hmong.es/wiki/Binomial_theorem</br>
+*https://hmong.es/wiki/Binomial_theorem</br>