Infinitos

Infinitos Concepto: Una función f(x) se llama infinita para x = a cuando tiende a infinito, es decir limx->af(x) = ∞.

Infinitos. Si para un número cualquiera N, tan grande como desee, que existe tal δ(N), para 0< Ι x – a Ι< δ(N) se verifica la desigualdad Ιf(x)Ι> N, la función f(x) recibe el nombre de infinita (infinitamente grande) cuando x→a. Análogamente, f(x) se determina como infinita (infinitamente grande) cuando x→ ∞.

Introducción

Este concepto de infinito es utilizado en el Análisis matemático cuando se quiere expresar que los términos de una sucesión ordenada, o los valores que toma una función al tomar la variable dependiente valores cercanos a uno fijado previamente "diverge" ("tiende a infinito", o su límite es infinito). En este contexto, se considera ∞ para representar al límite que tiende a infinito y 0 al límite cuando tiende a 0; y no al número 0).

Ejemplo: lim_x->2 3/(x-2) = ∞ => 3/(x-2) es un infinito cuando x tiende a 2, (x→2).

Infinitos fundamentales

• Infinito logarítmico:

• Infinito potencial, n natural y n≠0

• Infinito exponencial, a perteneciente a R+

• Infinito potencial exponencial, n natural y n≠0

Comparación de infinitos

Al comparar infinitos todas las funciones tienden al infinito, a continuación tenemos los siguientes casos, el mayor orden es para la función que más rápido crece al infinito. Sean las funciones f(x) y g(x) dos infinitos en a.

• Se dice que f(x) y g(x) tienen el mismo orden si

• Se dice que el orden de f(x) es mayor que el orden de g(x) si

• Se dice que el orden de f(x) es menor que el orden de g(x) si

• Cuando no existe el límite se dice que los infinitos no son comparables.

Comparación de infinitos fundamentales

A continuación se muestran según ordenes del tipo de infinito, de mayor a menor:

• orden del tipo x ^{k x} > orden del tipo b ^x > orden del tipo x ^m > orden del tipo log_a x ^c

Ejemplo de órdenes de infinitos

• Órdenes del tipo b^x: 4^x y 1,5^x es mayor el que tenga mayor su base 4^x> 1,5^x
• Órdenes del tipo x^m: 2x³, x² y x^1/2 es mayor el que tenga mayor grado 2x³ > x² > x^1/2

Ordenando los tipos anteriores descendentemente: 4^x > 1,5^x > 2x³ > x² > x^1/2> log₂ x

El siguiente ejemplo muestra como es calculado un límite aplicando el concepto de órdenes de infinito.

• orden x^m> orden log_a x^c, luego x> lnx que corresponde al caso en que el orden de f(x) es menor que el orden de g(x) por lo que esta crece más rápido al infinito resultando:

• Infinitos equivalentes: Se dice que dos infinitos f(x) y g(x) son equivalentes si el

• La suma de dos infinitos de distinto orden es equivalente al infinito de mayor orden.

Véase también

• Infinitesimal

Fuentes

• Baranenkov, G., Deminovich B., Efimenco, V., Kogan, S., Lunts, G., Porshneva, E., Sichova, E., Frolov, S., Shostak, R. y A. Yampolski: Problemas y ejercicios de análisis matemático. Editorial Mir, Moscú, 1977, pp. 31 – 32
• Ministerio de Educación Superior. Departamento de textos y Materiales Didácticos. Análisis Matemático 1 Tomo I