Vector propio

Vector propio Concepto: Vector V que satisface T(V)=kV donde k es un valor propio de la transformación lineal T.

Vector propio. (Del alemán eigenvert traducido como autovector) Dícese del vector V que en una aplicación lineal T multiplica al valor propio no nulo k en la forma T(V)=kV.

El termino eigenvert se atribuye al matemático David Hilbert en 1904.

Vectores y valores propios juegan un rol medular en la simplifación operatoria (solo un producto por fila) dentro de las transformaciones lineales, al permitir hallar a la matriz diagonal semejante a la matriz cuadrada asociada a T.

Definición

Sea T una aplicación o transformación lineal endomórfica de orden N, se dice que el vector V no nulo es un vector propio si y sólo se transforma de la manera:

• T(V)=kV

donde k es un valor propio.

Ejemplo

Sea la matriz A:

• 

asociada a la aplicación lineal T:R³->R³; obtener los valores propios de A.

1ro. Se plantea |A-kI|=0 para obtener el polinomio característico:

• 
• 
• 

que es reducido a:

• -k³+6k²+2k-12=0 (Polinomio característico de A)

2do. Se determinan las raíces del polinomio:

• -k³+2k+6k²-12=0
• =-k(k²-2)+6(k²-2)
• (6-k)(k²-2)=0

siendo 6 y que son valores propios de A por ser reales.

3ro. Se calculan los subespacios vectoriales de cada valor propio, sustituyéndolos por k en el sistema:

• 

Para k=6 el subespacio vectorial es {(a,b,c)€R³ | a=b=c}.

Luego se determina un vector no nulo cualquiera por cada subespacio vectorial que serán vectores propios del correspondiente valor propio. En el caso del valor propio 6 puede un vector propio suyo sería (1,1,1).

Importancia

Los valores y vectores propios son clave para la diagonalización de matrices cuadradas, proceso que se hace mediante la resolución del polinomio característico de la matriz cuadrada asociada a la transformación lineal en cuestión, usando por lo general el teorema de Cayley-Hamilton. Una vez encontrada la matriz diagonal semejante, los cálculos de la aplicación lineal se simplifican notablemente a meros productos. Para matrices superiores al orden 3, se obtendrán polinomios que no tendrán un método general de factorización.

Véase también

• Valor propio
• Matriz cuadrada
• Matriz identidad
• Madriz diagonal
• Determinante
• Polinomio característico
• Teorema de Cayley-Hamilton

Fuentes

• Colectivo de Autores. Álgebra lineal. Editorial Félix Valera. La Habana, 2003.
• L.I. Goloviná: Álgebra lineal y algunas de sus aplicaciones, Editorial Mir, Moscú- 1980
• Proskuriakov, I. Problemas de Álgebra Lineal. Editorial Mir, Moscú. 1986.
• Valor propio en Wikipedia. Consultado el 4 de septiembre de 2017.