Estructura algebraica

Estructura algebraica o sistema algebraico, en matemáticas o particularmente en álgebra abstracta, es un conjunto no vacío con una o más operaciones.

Definición 1.

Una aplicación s: Hⁿ → H se llama operación algebraica n- aria en el conjunto H no vacío. En el caso de n = 1, se llama operación unaria o monádica y cuando n = 2, operación binaria, para n = 3 tenemos operación ternaria

Ejemplos

operaciones unarias

• En el conjunto de los números naturales, sig(n), es una operación unaria
• en el conjunto de los reales, el signo de x es una operación unaria
• en el conjunto de la matrices cuadrada, la traza de una matriz es un operación unaria
• en un grupo algebraico multiplicativo inverso de x = x =^-1

operaciones binarias

• En los números reales, la adición
• en los números complejos, la multiplicación
• en la funciones reales continuas la composición

Operación ternaria

• el producto mixto de vectores en R³

Definición 2.

Un conjunto H con las operaciones algebraicas s₁, s₂, ..., s_n definida en él se llama estructura algebraica < H, s₁, s₂, ..., s_n >

Ejemplos

• Monoide con una operación binaria
• semigrupo con una operación
• grupo con una operación unaria y otra binaria
• anillo con una operación unaria y dos binarias
• cuerpo con dos unarias y dos binarias.

Elementos importantes

Elemento identidad

• Si en un conjunto H, con una operación binaria §, hay un elemento e que para todo elemento a de H, resulta a§e = a el elemento e se llama elemento identidad.

Ejemplos:

• en el conjunto de los enteros pares 2Z, con la adición, el 0 es elemento identidad. 2Z con la multiplicación no tiene elemento identidad.
• El conjunto de los enteros impares 2Z +1, con la multiplicación, tiene elemento identidad =1. El conjunto de los enteros de la forma 4k+1 tiene elemento identidad = 1.
• En el conjunto (Q\0)× Q se ha definido la operación (x,y)₰(s,t)= (xs, ys+t), entonces el elemento identidad es (1, 0).

Elemento inverso

• Si en un conjunto H, con una operación binaria §, para cada elemento a de H, existe el elemento a', se dice que este el elemento inverso ( o simétrico) de a.

Ejemplos

• en el conjunto de los enteros pares 2Z, con la adición, el simétrico de p es -p; 2Z con la multipicación no tiene simétrico para ningún par.
• el conjunto de los impares con el producto no tiene inverso para ningún impar.
• en el conjunto (Q\0)× Q se ha definido la operación (x,y)₰(s,t)= (xs, ys+t), entonces el elemento inverso de (x; y) es (1/x, -y/x).

Fuentes

• Fraleigh: álgebra abstracta
• M. l. Krasnov y otros: Curso de matemáticas superiores 11, Editorial URSS, Moscú 2010