Diferencia entre revisiones de «C- asterisco álgebra»
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| + | '''C* - álgebra'''. Es una estructura que surge en el análisis funcional; antes de proponerla en forma directa, se va a presentar, previamente, otra estructura, llamada asterisco - álgebra. | ||
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== Asterisco - álgebra== | == Asterisco - álgebra== | ||
Un álgebra A se denomina *- álgebra si en A hay una aplicación * de A en A, llamada '''involución''' , cumple lo siguiente siendo s y t elemento se A y l , número complejo: | Un álgebra A se denomina *- álgebra si en A hay una aplicación * de A en A, llamada '''involución''' , cumple lo siguiente siendo s y t elemento se A y l , número complejo: | ||
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* la involución de una suma es la suma de las respectivas involuciones: (s+t)* = s* + t* | * la involución de una suma es la suma de las respectivas involuciones: (s+t)* = s* + t* | ||
* la involución de un producto es el producto de las involuciones respectivas (st)* = s*t* | * la involución de un producto es el producto de las involuciones respectivas (st)* = s*t* | ||
| − | * la involución de un múltiplo escalar es igual al producto del conjugado por la involución del elemento.(lsT* = l's* donde l ' = conjugado de complejo l | + | * la involución de un múltiplo escalar es igual al producto del conjugado por la involución del elemento.(lsT* = l's* donde l ' = conjugado de complejo l. |
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==Nombres== | ==Nombres== | ||
* un elemento es '''hermítico''' si coincide con su involución: s = s* | * un elemento es '''hermítico''' si coincide con su involución: s = s* | ||
* si el producto de un elemento con su involución conmuta se llama '''elemento normal''': ss* = s*s | * si el producto de un elemento con su involución conmuta se llama '''elemento normal''': ss* = s*s | ||
* si para un elemento t de A se cumple tt* = t*t = 1, se dice que t es '''elemento unitario'''. | * si para un elemento t de A se cumple tt* = t*t = 1, se dice que t es '''elemento unitario'''. | ||
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==Propiedades== | ==Propiedades== | ||
* En toda *-álgebra los elementos 0 y 1 ( el segundo si hay) son hermíticos | * En toda *-álgebra los elementos 0 y 1 ( el segundo si hay) son hermíticos | ||
* Todo elemento s de un *-álgebra se puesde expresar de modo unívoco como: | * Todo elemento s de un *-álgebra se puesde expresar de modo unívoco como: | ||
:::::: s = h + ik donde h y k son hermíticos ,i = unidad imaginaria. | :::::: s = h + ik donde h y k son hermíticos ,i = unidad imaginaria. | ||
| − | * Sean B y D dos *-álgebras . Un morfismo ''m'' de B en D se denomina *-'''morfismo'' si ''m''(s*) = ''m''(s)*. En particular, dos *-álgebras son '''isomorfas''' si existe un isomorfismo de B sobre D que es un *-morfismo | + | * Sean B y D dos *-álgebras . Un morfismo ''m'' de B en D se denomina *-'''morfismo'' si ''m''(s*) = ''m''(s)*. En particular, dos *-álgebras son '''isomorfas''' si existe un isomorfismo de B sobre D que es un *-morfismo. |
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==Definición== | ==Definición== | ||
Un álgebra de Banach se llama C* - álgebra si es un * - álgebra en la que cumple que la norma de t por t* es el cuadrado de la norma de t: ||tt*|| = ||t||<sup>2</sup>. | Un álgebra de Banach se llama C* - álgebra si es un * - álgebra en la que cumple que la norma de t por t* es el cuadrado de la norma de t: ||tt*|| = ||t||<sup>2</sup>. | ||
| − | ===Propiedades de C* - | + | ===Propiedades de C* - álgebras=== |
| − | * En cualquiera C* - álgebra la norma de un elemento coincide con la norma de su involución. ||t|| = ||t | + | * En cualquiera C* - álgebra la norma de un elemento coincide con la norma de su involución: ||t|| = ||t*|| |
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| + | * La involución es continua. | ||
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| + | * En toda C* - álgebra conmutativa se cumple que ||t<sup>2</sup>|| = ||t||<sup>2</sup> | ||
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| + | ===Ejemplos=== | ||
| + | * Sea H un espacio de Hausdorff localmente compacto. El conjunto C<sub>0</sub> (H) de todas las funciones de H en C de los complejos, continuas iguales a cero en infinito es una subálgebra cerrada de del álgebra C<sub>b</sub>(H) y por consiguiente un álgebra de Banach conmutativa. C<sub>0</sub> (H), con la involución x*(t) igual a conjugado de x(t)) es una C* - álgebra. | ||
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| + | * En particular , C<sub>0</sub> (N, M<sub>2</sub>)<ref>N, los naturales; M<sub>2</sub>, matrices complejas de orden dos</ref> es un ejemplo simple de una C* - álgebra no conmutativa de dimensión infinita. | ||
==Fuente== | ==Fuente== | ||
| − | * Lugovaia- Shernstein: ''Análisis funcional'', Editorial URSS, Moscú - 2011 | + | *C*-álgebra. Disponible en: [https://es.wikipedia.org/wiki/C*-%C3%A1lgebra]. Consultado el 27 de noviembre de 2019. |
| + | *Lugovaia- Shernstein: ''Análisis funcional'', Editorial URSS, Moscú - 2011 | ||
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última versión al 08:35 27 nov 2019
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C* - álgebra. Es una estructura que surge en el análisis funcional; antes de proponerla en forma directa, se va a presentar, previamente, otra estructura, llamada asterisco - álgebra.
Sumario
Asterisco - álgebra
Un álgebra A se denomina *- álgebra si en A hay una aplicación * de A en A, llamada involución , cumple lo siguiente siendo s y t elemento se A y l , número complejo:
- La involución de la involución de un elemento retorna este: (s*)* = s
- la involución de una suma es la suma de las respectivas involuciones: (s+t)* = s* + t*
- la involución de un producto es el producto de las involuciones respectivas (st)* = s*t*
- la involución de un múltiplo escalar es igual al producto del conjugado por la involución del elemento.(lsT* = l's* donde l ' = conjugado de complejo l.
Nombres
- un elemento es hermítico si coincide con su involución: s = s*
- si el producto de un elemento con su involución conmuta se llama elemento normal: ss* = s*s
- si para un elemento t de A se cumple tt* = t*t = 1, se dice que t es elemento unitario.
Propiedades
- En toda *-álgebra los elementos 0 y 1 ( el segundo si hay) son hermíticos
- Todo elemento s de un *-álgebra se puesde expresar de modo unívoco como:
- s = h + ik donde h y k son hermíticos ,i = unidad imaginaria.
- Sean B y D dos *-álgebras . Un morfismo m de B en D se denomina *-'morfismo si m(s*) = m(s)*. En particular, dos *-álgebras son isomorfas si existe un isomorfismo de B sobre D que es un *-morfismo.
Definición
Un álgebra de Banach se llama C* - álgebra si es un * - álgebra en la que cumple que la norma de t por t* es el cuadrado de la norma de t: ||tt*|| = ||t||2.
Propiedades de C* - álgebras
- En cualquiera C* - álgebra la norma de un elemento coincide con la norma de su involución: ||t|| = ||t*||
- La involución es continua.
- En toda C* - álgebra conmutativa se cumple que ||t2|| = ||t||2
Ejemplos
- Sea H un espacio de Hausdorff localmente compacto. El conjunto C0 (H) de todas las funciones de H en C de los complejos, continuas iguales a cero en infinito es una subálgebra cerrada de del álgebra Cb(H) y por consiguiente un álgebra de Banach conmutativa. C0 (H), con la involución x*(t) igual a conjugado de x(t)) es una C* - álgebra.
- En particular , C0 (N, M2)[1] es un ejemplo simple de una C* - álgebra no conmutativa de dimensión infinita.
Fuente
- C*-álgebra. Disponible en: [1]. Consultado el 27 de noviembre de 2019.
- Lugovaia- Shernstein: Análisis funcional, Editorial URSS, Moscú - 2011
Notas y referencias
- ↑ N, los naturales; M2, matrices complejas de orden dos
