Cuerpo algebraico

Cuerpo algebraico Concepto: En álgebra se conoce por cuerpo a una estructura algebraica de la forma <A, op1, op2>, donde A es un conjunto de elementos, op1 y op2 son operaciones binarias de la forma que satisfacen una serie de axiomas que definen las características del cuerpo.

Cuerpo algebraico. Dícese de la estructura algebraica forma <A, op₁, op₂>, donde A es un conjunto de elementos, op₁ y op₂ son operaciones binarias de la forma que satisfacen una serie de axiomas que definen las características del cuerpo.

Según el cardinal del conjunto A, los cuerpos pueden ser cuerpos finitos si A lo es; o cuerpos infinitos si A contiene infinitos elementos.

Definición.

Se define cuerpo a una estructura algebraica de la forma <A, op₁, op₂>, donde A es un conjunto de elementos, op₁ y op₂ son funciones binarias de la forma que satisfacen todas las propiedades siguientes:

1. Ley de la clausura o cierre para op₁: op₁ es cerrada sobre A. Es decir, x op₁ y = z donde x, y y z son elementos de A.
2. Ley conmutativa o abeliana para op₁: op₁ satisface x op₁ y = y op₁ x donde x e y son elementos de A.
3. Ley asociativa para op₁: op₁ cumple que (x op₁ y) op₁ z = x op₁ (y op₁ z) donde x, y y z son elementos de A.
4. Existencia del neutro para op₁. Existe un elemento e en A tal que para cualquier x también de A, se cumple a op₁ e = e op₁ a = a.
5. Existencia del opuesto para op₁. Existe un elemento x^* en A tal que para cualquier x también de A, se cumple x op₁ x^* = x^* op₁ x = e.
6. Ley de la clausura o cierre para op₂: op₂ es cerrada sobre A. Es decir, x op₂ y = z donde x, y y z son elementos de A.
7. Ley conmutativa o abeliana para op₂: op₂ satisface x op₂ y = y op₂ x donde x e y son elementos de A.
8. Ley asociativa para op₂: op₂ cumple que (x op₂ y) op₂ z = x op₂ (y op₂ z) donde x, y y z son elementos de A.
9. Existencia de la unidad para op₂. Existe un elemento u en A tal que para cualquier x también de A, se cumple a op₂ e = e op₂ a = a.
10. Existencia del inverso para op₂. Existe un elemento x^-1 en A tal que para cualquier x también de A, se cumple x op₂ x^-1 = x^-1 op₂ x = e.
11. Ley distributiva: x op₂(y op₁ z) = (x op₂ y) op₁ (x op₂ z), donde x, y y z pertenecen a A.

Cuerpos numéricos.

Entre los conjuntos numéricos se reconocen como cuerpos a:

• Los números racionales: Definiendo a x=a/b donde a, b son números enteros y b es distinto de 0. Se hace a op₁ como la suma, e es 0, x^* sería el opuesto -x de x; op₂ sería la multiplicación, u es 1, x^-1 sería el inverso 1/x = b/a, ssi a!=0 de x=a/b.
• Los números reales: Sea x un número real cualquiera, Se toma a op₁ como la suma, e es 0, x^* sería el opuesto -x de x; op₂ sería la multiplicación, u es 1, x^-1 sería el inverso 1/x de x=a/b.
• Los números complejos: Tómese x como un complejo cualquiera con la representación algebraica a+bi con a y b reales. Se toma a op₁ como la suma, e es 0, x^* sería el opuesto -x de x; op₂ sería la multiplicación, u es 1, x^-1 sería el inverso de x.

Fuentes.

1. Carl B. Allendoerfer, Cletus O. Oakley. Introducción moderna a la Matemática Superior. Ediciones del Castillo, Madrid, 1967.