Diferencia entre revisiones de «Derivación de funciones compuestas»

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'''Derivación de funciones compuestas.''' Para derivar funciones compuestas en una sola variablea se utliza la regla de la cadena, en el caso de funciones de más de una variable la regla de la cadena tiene varias versiones que dan
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la regla de diferenciación de la composición de funciones para diferentes casos.
  
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== Primer caso  ==
  
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== Una variable independiente ==
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Si z= f(x,y) es una función diferenciable de los argumentos x e y, que son a su vez funciones diferenciables de una variable independiente t
  
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Si z= f(x,y) es una función diferenciable de los argumentos x e y, que son a su vez funciones diferenciables de una variable independiente t:
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x = ð(t), y = φ(t)
  
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=== Ejemplo 1 ===
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Si z = f (x, y) = x<sup>2</sup> y − y<sup>4</sup> x<sup>3</sup> , donde x = t<sup>3</sup> e y = ln t, la diferencial de z respecto de t será:
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d͡z/d͡x = (2xy − 3y<sup>4</sup>x<sup>2</sup>) Derivando la función z con respecto a x
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d͡z/d͡y = (x<sup>2</sup> − 4y<sup>3</sup> x<sup>3</sup>)  Derivando la función z con respecto a y
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dx/dt = 3t<sup>2</sup>  Derivando  x = t<sup>3</sup>
  
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La derivada de la función compuesta  z = f[ð(t),φ(t)] se puede calcular por la fórmula:
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dy/dt = 1/t Derivando y = ln t
  
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Luego sustituyendo en la fórmula resulta
  
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En el caso particular que t coincida con uno de los argumentos, por ejemplo con x, las derivada total de ñla función con respecto a x será:
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d͡z/d͡t = (2xy − 3y<sup>4</sup>x<sup>2</sup>)3t<sup>2</sup> + (x<sup>2</sup> − 4y<sup>3</sup> x<sup>3</sup>)1/t
  
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sustituyendo los valores de x e y como función de t :
  
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d͡z/d͡t = (2t<sup>3</sup>ln t - 3(ln t)<sup>4</sup>t<sup>6</sup>)3t<sup>2</sup> + (t<sup>6</sup> − 4(ln t)<sup>3</sup>t<sup>9</sup>)1/t
  
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d͡z/d͡t  = 6t<sup>5</sup> ln t + t<sup>5</sup> − 4 (ln t)<sup>3</sup> t<sup>8</sup> − 9(ln t)<sup>4</sup> t<sup>8</sup>
  
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== Segundo caso ==
  
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== Ejemplo 1 ==
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Si z es una función compuesta de varias variables independientes, por ejemplo,
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z = f(x,y)  donde x = ð(s,t) e y = φ(s,t)  s y t son variables independientes, f, ð y φ son funciones diferenciables, las derivadas parciales de z con respecto a s y t se expresan así:
  
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Hallar las derivadas parciales de la función
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z = (x<sup>2</sup> + xy  + y<sup>3</sup>)
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Ejemplo 1
  
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z´<sub>x</sub> (x,y)= 2x + y     Se deriva la función con respecto a x, considerando a y constante           
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Si z = f (x, y) = x<sup>2</sup> y − y <sup>4</sup> x<sup>3</sup> donde x = t<sup>3</sup> + 2s  e  y = s ln t, entonces las derivadas parciales
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de z respecto de s y t son:
  
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z´<sub>x</sub> (x,y)= y + x + 3y<sup>2</sup> Se deriva la funcicon respecto a y, considerando a y constante
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d͡z/d͡s = (2xy − 3y<sup>4</sup>x<sup>2</sup>) 2 + (x<sup>2</sup> − 4y<sup>3</sup> x<sup>3</sup>)ln t
  
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== Ejemplo 2 ==
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d͡z/d͡t= (2xy − 3y<sup>4</sup>x<sup>2</sup>)3t2 + (x<sup>2</sup> − 4y<sup>3</sup> x<sup>3</sup>)s/t
  
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Hallar las derivadas parciales de la función de tres argumentos.
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sustituyendo los valores de x = t<sup>3</sup> + 2s e y = s ln t
  
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u = x<sup>3</sup>y<sup>2</sup>z + 2x - 3y + z + 5
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d͡z/d͡s = 2 (2(t<sup>3</sup> + 2s)sln t − (s ln t)<sup>4</sup> (t<sup>3</sup> + 2s)<sup>2</sup> + ln t (t<sup>3</sup> + 2s)<sup>2</sup> − 4 (s ln t)<sup>3</sup> (t<sup>3</sup> + 2s)<sup>2</sup))
  
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d͡u/d͡x = 3 x<sup>2</sup>y<sup>2</sup>z + 2
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d͡z/d͡t = 3t<sup>2</sup>(2(t<sup>3</sup> + 2s) - (s ln t)<sup>4</sup> (t<sup>3</sup> + 2s)<sup>2</sup>
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== Caso general  ==
  
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d͡u/d͡y = 2 x<sup>3</sup>yz - 3
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Si z es una función diferencial de n variables, x<sub>1</sub> , x<sub>2</sub> , ..., x<sub>n</sub> , donde estas a su vez son funciones diferenciables de m variables, t<sub>1</sub> , t<sub>2</sub> , ..., t<sub>m</sub> , entonces z es una función diferencial de t<sub>1</sub> , t<sub>2</sub> , ..., t<sub>m</sub> donde:
  
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d͡u/d͡z = x<sup>3</sup>y<sup>2</sup> + 1
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== Fuente  ==
 
== Fuente  ==

última versión al 10:01 5 jun 2013

Derivación de funciones compuestas
Información sobre la plantilla
Deriv.jpeg

Derivación de funciones compuestas. Para derivar funciones compuestas en una sola variablea se utliza la regla de la cadena, en el caso de funciones de más de una variable la regla de la cadena tiene varias versiones que dan la regla de diferenciación de la composición de funciones para diferentes casos.

Primer caso

Si z= f(x,y) es una función diferenciable de los argumentos x e y, que son a su vez funciones diferenciables de una variable independiente t

x = ð(t), y = φ(t)

La derivada de la función compuesta z = f[ð(t),φ(t)] se puede calcular por la fórmula:

Derivada compuesta primer caso.JPG

Ejemplo 1

Si z = f (x, y) = x2 y − y4 x3 , donde x = t3 e y = ln t, la diferencial de z respecto de t será:

d͡z/d͡x = (2xy − 3y4x2) Derivando la función z con respecto a x

d͡z/d͡y = (x2 − 4y3 x3) Derivando la función z con respecto a y

dx/dt = 3t2 Derivando x = t3

dy/dt = 1/t Derivando y = ln t

Luego sustituyendo en la fórmula resulta


d͡z/d͡t = (2xy − 3y4x2)3t2 + (x2 − 4y3 x3)1/t


sustituyendo los valores de x e y como función de t :

d͡z/d͡t = (2t3ln t - 3(ln t)4t6)3t2 + (t6 − 4(ln t)3t9)1/t

d͡z/d͡t = 6t5 ln t + t5 − 4 (ln t)3 t8 − 9(ln t)4 t8

Segundo caso

Si z es una función compuesta de varias variables independientes, por ejemplo, z = f(x,y) donde x = ð(s,t) e y = φ(s,t) s y t son variables independientes, f, ð y φ son funciones diferenciables, las derivadas parciales de z con respecto a s y t se expresan así:

Derivada compuesta segundo caso.JPG

Ejemplo 1

Si z = f (x, y) = x2 y − y 4 x3 donde x = t3 + 2s e y = s ln t, entonces las derivadas parciales de z respecto de s y t son:


d͡z/d͡s = (2xy − 3y4x2) 2 + (x2 − 4y3 x3)ln t

d͡z/d͡t= (2xy − 3y4x2)3t2 + (x2 − 4y3 x3)s/t

sustituyendo los valores de x = t3 + 2s e y = s ln t


d͡z/d͡s = 2 (2(t3 + 2s)sln t − (s ln t)4 (t3 + 2s)2 + ln t (t3 + 2s)2 − 4 (s ln t)3 (t3 + 2s)2</sup))


d͡z/d͡t = 3t2(2(t3 + 2s) - (s ln t)4 (t3 + 2s)2

Caso general

Si z es una función diferencial de n variables, x1 , x2 , ..., xn , donde estas a su vez son funciones diferenciables de m variables, t1 , t2 , ..., tm , entonces z es una función diferencial de t1 , t2 , ..., tm donde:

Derivada de función compuesta caso general.JPG

Fuente

  • Cálculo. Roland Larson y otros.
  • Cálculo Diferencial e Integral, Willian Granville y otros

Véase también

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