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'''Integración por parte'''. El método de integración por partes permite calcular la [[Integral Indefinida|integral]] de un producto de dos funciones aplicando la fórmula: | '''Integración por parte'''. El método de integración por partes permite calcular la [[Integral Indefinida|integral]] de un producto de dos funciones aplicando la fórmula: | ||
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El método de integración por partes está basado en la derivada de un producto de funciones como se muestra a continuación | El método de integración por partes está basado en la derivada de un producto de funciones como se muestra a continuación | ||
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| − | + | Se llama integración por partes porque la integral se divide en dos partes: en una el integrando es ''u'' y otra en la otra es ''v''. La integral debe estar completa y sin alterar la operación dentro de ella. Consejos: | |
| − | + | 1.- La función correspondiente a ''dv'' debe ser la función más fácil de integrar, | |
| + | 2.- En ''u'' deben ir aquellas funciones que no tienen integral directa (funciones logarítmicas e inversas), luego se pueden considerar las funciones algebraicas puesto que la derivada es reductiva. Las funciones trigonométricas y exponenciales son más sencillas de trabajar. | ||
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| − | + | Integral de ''f(x) = x cos(x)'' | |
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| − | + | Integral de ''f(x) = ln(x)''. | |
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| − | + | Sean ''u = ln(x)'' y ''v' = 1''. Derivando e integrando, respectivamente, se obtiene ''u' = 1/x '' y ''v = x''. Como ''f(x) = u·v''', aplicando la fórmula de integración por partes, se tiene que la integral de ''f(x)'' es ''x·ln(x) - x + C''. | |
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| + | *[https://www.matesfacil.com/resueltos-integracion-por-partes.htm Integración por partes: método y ejemplos (Matesfacil.com)] | ||
| + | *[https://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todos_de_integraci%C3%B3n#M.C3.A9todo_de_integraci.C3.B3n_por_partes Integración por partes (Wikipedia.org)] | ||
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| + | == Véase también == | ||
* [[Integración_numérica|Integración numérica]] | * [[Integración_numérica|Integración numérica]] | ||
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última versión al 20:20 12 ago 2019
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Integración por parte. El método de integración por partes permite calcular la integral de un producto de dos funciones aplicando la fórmula:
∫ f(x) g'(x)dx = f(x) g(x) − ∫ f'(x) g(x)dx
Definición
Existen varios métodos de integración, consistiendo todos ellos en reducir la integral buscada a una integrala conocida, como por ejemplo una de las de la tabla, o bien reducirla una integral más sencilla.
El método de integración por partes está basado en la derivada de un producto de funciones como se muestra a continuación
d(u·v) = u dv + v du
por eso es que se usa para integrales que contienen dos funciones que se multiplican entre si.
∫d(u·v) = ∫u dv + ∫v du
Se llama integración por partes porque la integral se divide en dos partes: en una el integrando es u y otra en la otra es v. La integral debe estar completa y sin alterar la operación dentro de ella. Consejos:
1.- La función correspondiente a dv debe ser la función más fácil de integrar, 2.- En u deben ir aquellas funciones que no tienen integral directa (funciones logarítmicas e inversas), luego se pueden considerar las funciones algebraicas puesto que la derivada es reductiva. Las funciones trigonométricas y exponenciales son más sencillas de trabajar.
Ejemplos
Ejemplo 1
Integral de f(x) = x cos(x)
Resolución:
Sea v' = cos(x). Entonces, v se obtiene integrando:
Sea u = x. Derivando, u' = 1.
Aplicando la fórmula,
Ejemplo 2
Integral de f(x) = ln(x).
Resolución:
Sean u = ln(x) y v' = 1. Derivando e integrando, respectivamente, se obtiene u' = 1/x y v = x. Como f(x) = u·v', aplicando la fórmula de integración por partes, se tiene que la integral de f(x) es x·ln(x) - x + C.
