Diferencia entre revisiones de «Teorema de Euler»
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f(kx,ky) = k<sup>n</sup> f(x,y). | f(kx,ky) = k<sup>n</sup> f(x,y). | ||
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| − | + | Diga si la función dada es homegénea y cual es el grado de homogeniedad. | |
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| − | f (λx, λy ) | + | z = f(x,y) = x <sup>2</sup> + xy − y<sup>2</sup> |
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Como la función z = f ( x, y ) cumple la definición, decimos que z | Como la función z = f ( x, y ) cumple la definición, decimos que z | ||
es homogénea de grado 2 . | es homogénea de grado 2 . | ||
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| + | Si z = f ( x, y ) es una función homogénea de grado “ n ” y sus derivadas parciales | ||
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| + | xf<sup>´</sup><sub>x</sub>(x,y) + yf<sup>´</sup><sub>y</sub>(x,y) = n f(x,y) | ||
Una función racional entera será homogénea, si todos los términos de la misma son del mismo grado. | Una función racional entera será homogénea, si todos los términos de la misma son del mismo grado. | ||
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Demuestra si la siguiente función cumple el teorema de Euler. | Demuestra si la siguiente función cumple el teorema de Euler. | ||
| − | + | f ( x, y )= x<sup>2</sup> - 2x<sup>3</sup>y<sup>2</sup> - y<sup>5</sup> | |
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| + | f<sup>´</sup><sub>x</sub>(x,y) = 5x<sup>4</sup> - 6x<sup>2</sup>y<sup>2</sup> | ||
| + | f<sup>´</sup><sub>y</sub>(x,y) = -4x<sup>3</sup>y - 5y<sub>4</sub> | ||
| + | xf<sup>´</sup><sub>x</sub>(x,y) + yf<sup>´</sup><sub>y</sub>(x,y)= x(5x<sup>4</sup> - 6x<sup>2</sup>y<sup>2</sup>) + y(-4x<sup>3</sup>y - 5y<sup>4</sup>) = 5x<sup>2</sup> 10x<sup>3</sup>y<sup>2</sup> - 5y<sup>5</sup> = 5 f(x,y) | ||
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Revisión del 18:12 22 jul 2011
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Teorema de Euler. El Teorema de Euler sobre Funciones Homogéneas, es una caracterización de las funciones homogéneas.
Definición
La función f(x,y) se llama Función Homogénea de grado n si para cualquier factor real K se verifica la igualdad
f(kx,ky) = kn f(x,y).
Ejemplo 1
Diga si la función dada es homegénea y cual es el grado de homogeniedad.
z = f(x,y) = x 2 + xy − y2
f(λx, λy ) = (λx)2 + (λx)(λy) − (λy)2 = λ2 x2 + λ2xy − λ2 y2 = λ2(x2 + xy − y2)
f(λx, λy) = λ2f(x,y)
Como la función z = f ( x, y ) cumple la definición, decimos que z es homogénea de grado 2 .
Primer Teormea de Euler
Si z = f ( x, y ) es una función homogénea de grado “ n ” y sus derivadas parciales de primer orden existen, entonces:
xf´x(x,y) + yf´y(x,y) = n f(x,y)
Una función racional entera será homogénea, si todos los términos de la misma son del mismo grado.
Ejemplo 2
Demuestra si la siguiente función cumple el teorema de Euler.
f ( x, y )= x2 - 2x3y2 - y5
f´x(x,y) = 5x4 - 6x2y2
f´y(x,y) = -4x3y - 5y4
xf´x(x,y) + yf´y(x,y)= x(5x4 - 6x2y2) + y(-4x3y - 5y4) = 5x2 10x3y2 - 5y5 = 5 f(x,y)
Fuente
- Cálculo. Roland Larson y otros.
- Cálculo Diferencial e Integral, Willian Granville y otros
