Matriz inversa

Matriz inversa 260px Concepto: Matriz cuadrada A-1 de orden N tal que A-1A=AA-1=IN.

Matriz inversa. Dícese de la Matriz cuadrada A^-1 de orden N que dada, A una matriz cuadrada no singular del mismo orden, satisface AA^-1=A^-1A=I_N.

Definiciones.

Dada la matriz cuadrada A de orden N se dice que es una matriz inversible si y sólo si el determinante de A no es nulo.

Si A es una matriz inversible, se dice que la matriz cuadrada A^-1 de orden N es la matriz inversa de A tal que AA^-1=A^-1A=I_N.

Propiedades.

• Una matriz cuadrada A es inversible si existe otra matriz cuadrada B tal que AB=BA=I.

• Una matriz es inversible ssi:
  • Es cuadrada.
  • Es no singular.

• Si una matriz A de orden n es inversible, entonces su rango también es n.

• La matriz inversa si existe es única.

• (AB)^-1=A^-1B^-1
• (A^T)^-1=(A^-1)^T
• (A^-1)^-1=A

Métodos de obtención:

• Mediante el determinante y la matriz adjunta:
  • Sea A⁺ la matriz adjunta de A, A^-1=A⁺/|A|.
• Método de Jordan..
  • A partir de se crea la matriz extendida (A|I) y mediante transformaciones elementales en cada fila, si A es inversible, se obtiene (I|A^-1).

Solución de sistemas de ecuaciones líneales mediante la inversa: Sea la matriz A no singular y el sistema de ecuaciones lineales representados por la ecuación matricial:

• AX=B

Se puede multiplicar delante de ambos lados de la ecuación por A^-1:

• A^-1AX=A^-1B => I.X=A^-1B => X=A^-1B

Ejemplos.

La matriz:

1	2	3
4	5	6
7	8	9

no tiene inversa porque su determinante es 0, es decir es una matriz singular.

En cambio la matriz A:

1	2	3
3	4	5
5	6	8

cumple |A|=-2, es no singular y por ende es inversible. A^-1 es:

-1	-1	1
-0,5	3,5	-2
1	-2	1

Véase también

• Matriz
• Matriz cuadrada
• Matriz identidad
• Matriz adjunta

Fuentes

• Colectivo de Autores. Álgebra lineal. Editorial Félix Varela, La Habana, 2003.
• K. Ribnikov. Análisis Combinatorio. Editorial Mir, Moscú, 1988.
• Matriz invertible en Wikipedia.