C- asterisco álgebra

C* - álgebra es una estructura que surge en el análisis funcional; antes de proponerla en forma directa, se va a presentar, previamente, otra estructura en la cual nos vamos a apoyar, la llamada:

Asterisco - álgebra

Un álgebra A se denomina *- álgebra si en A hay una aplicación * de A en A, llamada involución , cumple lo siguiente siendo s y t elemento se A y l , número complejo:

• La involución de la involución de un elemento retorna este: (s*)* = s
• la involución de una suma es la suma de las respectivas involuciones: (s+t)* = s* + t*
• la involución de un producto es el producto de las involuciones respectivas (st)* = s*t*
• la involución de un múltiplo escalar es igual al producto del conjugado por la involución del elemento.(lsT* = l's* donde l ' = conjugado de complejo l

Nombres

• un elemento es hermítico si coincide con su involución: s = s*
• si el producto de un elemento con su involución conmuta se llama elemento normal: ss* = s*s
• si para un elemento t de A se cumple tt* = t*t = 1, se dice que t es elemento unitario.

Propiedades

• En toda *-álgebra los elementos 0 y 1 ( el segundo si hay) son hermíticos
• Todo elemento s de un *-álgebra se puesde expresar de modo unívoco como:

s = h + ik donde h y k son hermíticos ,i = unidad imaginaria.

• Sean B y D dos *-álgebras . Un morfismo m de B en D se denomina *-'morfismo si m(s*) = m(s)*. En particular, dos *-álgebras son isomorfas si existe un isomorfismo de B sobre D que es un *-morfismo

Definición

Un álgebra de Banach se llama C* - álgebra si es un * - álgebra en la que cumple que la norma de t por t* es el cuadrado de la norma de t: ||tt*|| = ||t||².

Propiedades de C* - álgebras

• En cualquiera C* - álgebra la norma de un elemento coincide con la norma de su involución: ||t|| = ||t*||

• La involución es continua.

• En toda C* - álgebra conmutativa se cumple que ||t²|| = ||t||²

Ejemplos

• Sea H un espacio de Hausdorff localmente compacto. El conjunto C₀ (H) de todas las funciones de H en C de los complejos, continuas iguales a cero en infinito es una subálgebra cerrada de del álgebra C_b(H) y por consiguiente un álgebra de Banach conmutativa. C₀ (H), con la involución x*(t) igual a conjugado de x(t)) es una C* - álgebra.

• En particular , C₀ (N, M₂) es un ejemplo simple de una C* - álgebra no conmutativa de dimensión infinita.

Fuente

• Lugovaia- Shernstein: Análisis funcional, Editorial URSS, Moscú - 2011