Series Matemáticas

Series Matemáticas. Una serie es la suma de los términos de una sucesión: 

Se representa una serie con términos an como donde n es el índice final de la serie.

Las series convergen si para algún , divergen si no existe o si tiende a infinito.

Tipos de series

Serie geométrica

Una serie geométrica es aquella cuyos términos forman una progresión geométrica. (Cada término es igual al anterior multiplicado por una constante). La fórmula de una serie geométrica siempre se puede escribir en la forma normal:

Serie armónica

La serie armónica es la serie:

. La serie armónica es divergente.

Serie alternada

Una serie alternada es una serie donde los términos alternan el signo. Ejemplo:

Serie de potencias

•Una serie de potencias alrededor de x=0 es una serie de la forma:

Una serie de potencias alrededor de x=a es una serie de la forma:

En el cual el centro es a, y los coeficientes C_n son constantes. 

Serie telescópica

Una serie telescópica es la suma  , donde . Se representa de la siguiente manera:

Criterios de convergencia

Condición necesaria para la convergencia

Teorema

Es condición necesaria para que la serie sea convergente, que

Nota: Este criterio es necesario pero no suficiente, es decir que, si el término n-ésimo tiende a 0, no se puede afirmar que la serie sea convergente.

Condición  suficiente

Para que una serie sea divergente, una condición suficiente es que .

Esta afirmación es muy útil, ya que nos ahorra trabajo en los criterios cuando el límite es distinto de cero.

Criterio de D'Alembert o Criterio del Cociente

Sea una serie , tal que a_k > 0 ( serie de términos positivos).

Si existe con , el Criterio de D'Alembert establece que:

• si L < 1, la serie converge.

• si L > 1, entonces la serie diverge.

• si L = 1, no es posible decir algo sobre el comportamiento de la serie. En este caso, es necesario probar otro criterio.

Criterio de Cauchy (raíz enésima)

Sea una serie , tal que a_k > 0 (serie de términos positivos). Y supongamos que existe, siendo

Entonces, si:

• L < 1, la serie es convergente.

• L > 1 entonces la serie es divergente.

• L=1, no es posible decir algo sobre el comportamiento de la serie. En este caso, es necesario probar otro criterio.

Criterio de Raabe

Sea una serie , tal que a_k > 0 (serie de términos positivos). Y supongamos que existe, siendo

Por tanto, si L > 1, entonces la serie es convergente y si L < 1, la serie es divergente.

Criterio de la integral de Cauchy

Si f(x) es una función positiva y monótonamente decreciente definida en el intervalo [1, ∞) tal que f(n) = a_n para todo n, entonces converge si y sólo si es finita.

Más generalmente, y para el tipo de función definida antes, pero en un intervalo [N,∞), la serie Archivo:Serie23.jpg

converge sí y sólo sí la integralArchivo:Serie24.jpg converge.

Criterio de Leibniz

Una serie de la forma (con ) se llama alternada. Tal serie converge si se cumplen las siguientes condiciones:

a) para n par y n impar

b) La serie tiene que ser absolutamente decreciente es decir que:

Si esto se cumple, la serie es condicionalmente convergente de lo contrario la serie diverge.

Nota:Se debe descartar primero la convergencia absoluta de antes de aplicar este criterio, usando los criterios para series positivas.

Criterios de convergencia comparativos

Son aplicables en caso de disponer de otra serie tal que se conozca su condición, tal como la divergencia para la serie geométrica con razón (en valor absoluto) mayor que 1, |z| > 1. Entonces:

Criterio de comparación directa ( de la mayorante o de Gauss )

Si

• Si converge converge

• Si   diverge diverge.

Criterio de comparación por paso al límite del cociente

Entonces:

• Si L = 0 y converge converge

• Si y diverge diverge

• En otro caso, ambas series comparten la misma condición (ambas convergen, o bien ambas son divergentes).