Cuerpo algebraico

Cuerpo. En álgebra se conoce por cuerpo a una estructura algebraica de la forma <A, op₁, op₂>, donde A es un conjunto de elementos, op₁ y op₂ son funciones binarias de la forma que satisfacen una serie de axiomas que definen las características del cuerpo.

Entre los conjuntos numéricos se reconocen como cuerpos a:

• Los números racionales.
• Los números reales.
• Los números complejos.

aunque la definición es más abstracta y por ende, generalizadora.

Definición.

Se define cuerpo a una estructura algebraica de la forma <A, op₁, op₂>, donde A es un conjunto de elementos, op₁ y op₂ son funciones binarias de la forma Archivo:Funcion Binaria Interna que satisfacen todas las propiedades siguientes:

1. Ley de la clausura o cierre para op₁: op₁ es cerrada sobre A. Es decir, x op₁ y = z donde x, y y z son elementos de A.
2. Ley conmutativa o abeliana para op₁: op₁ satisface x op₁ y = y op₁ x donde x e y son elementos de A.
3. Ley asociativa para op₁ : op₁ cumple que (x op₁ y) op₁ z = x op₁ (y op₁ z) donde x, y y z son elementos de A.
4. Existencia del neutro para op₁. Existe un elemento e en A tal que para cualquier x también de A, se cumple a op₁ e = e op₁ a = a.
5. Existencia del opuesto para op₁. Existe un elemento x^* en A tal que para cualquier x también de A, se cumple x op₁ x^* = x^* op₁ x = e.
6. Ley de la clausura o cierre para op₂: op₂ es cerrada sobre A. Es decir, x op₂ y = z donde x, y y z son elementos de A.
7. Ley conmutativa o abeliana para op₂: op₂ satisface x op₂ y = y op₂ x donde x e y son elementos de A.
8. Ley asociativa para op₂: op₂ cumple que (x op₂ y) op₂ z = x op₂ (y op₂ z) donde x, y y z son elementos de A.
9. Existencia de la unidad para op₂. Existe un elemento u en A tal que para cualquier x también de A, se cumple a op₂ e = e op₂ a = a.
10. Existencia del inverso para op₂. Existe un elemento x^-1 en A tal que para cualquier x también de A, se cumple x op₂ x^-1 = x^-1 op₂ x = e.
11. Ley distributiva: x op₂(y op₁ z) = (x op₂ y) op₁ (x op₂ z), donde x, y y z pertenecen a A.

Cuerpos numéricos.

Entre los conjuntos numéricos se reconocen como cuerpos a:

• Los números racionales: Definiendo a x=a/b donde a, b son números enteros y b es distinto de 0. Se hace a op₁ como la suma, e es 0, x^* sería el opuesto -x de x; op₂ sería la multiplicación, u es 1, x^-1 sería el inverso 1/x = b/a, ssi a!=0 de x=a/b.
• Los números reales: Sea x un número real cualquiera, Se toma a op₁ como la suma, e es 0, x^* sería el opuesto -x de x; op₂ sería la multiplicación, u es 1, x^-1 sería el inverso 1/x de x=a/b.
• Los números complejos: Tómese x como un complejo cualquiera con la representación algebraica a+bi con a y b reales. Se toma a op₁ como la suma, e es 0, x^* sería el opuesto -x de x; op₂ sería la multiplicación, u es 1, x^-1 sería el inverso de x.

Fuentes.

1. Carl B. Allendoerfer, Cletus O. Oakley. Introducción moderna a la Matemática Superior. Ediciones del Castillo, Madrid, 1967.