Diferencia entre revisiones de «Derivación de funciones compuestas»
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== Primer caso == | == Primer caso == | ||
| − | Si z= f(x,y) es una función diferenciable de los argumentos x e y, que son a su vez funciones diferenciables de una variable independiente t | + | Si z= f(x,y) es una función diferenciable de los argumentos x e y, que son a su vez funciones diferenciables de una variable independiente t |
x = ð(t), y = φ(t) | x = ð(t), y = φ(t) | ||
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Ejemplo 1 | Ejemplo 1 | ||
| + | Si z = f (x, y) = x<sup>2</sup> y − y<sup>4</sup> x<sup>3</sup> , donde x = t<sup>3</sup> e y = ln t, la diferencial de z respecto de t será: | ||
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| + | d͡z/d͡t = (2xy − 3y<sup>4</sup>x<sup>2</sup>)3t2 + (x<sup>2</sup> − 4y<sup>3</sup> x<sup>3</sup>)1/t | ||
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| + | sustituyendo los valores de x e y como función de t : | ||
| − | + | d͡z/d͡t = (2t<sup>3</sup>ln t - 3(ln t)<sup>4</sup>t<sup>6</sup>)3t<sup>2</sup> + (t<sup>6</sup> − 4(ln t)<sup>3</sup>t<sup>9</sup>)1/t | |
| + | d͡z/d͡t = 6t<sup>5</sup> ln t + t<sup>5</sup> − 4 (ln t)<sup>3</sup> t<sup>8</sup> − 9(ln t)<sup>4</sup> t<sup>8</sup> | ||
== Segundo caso == | == Segundo caso == | ||
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Si z = f (x, y) = x<sup>2</sup> y − y <sup>4</sup> x<sup>3</sup> donde x = t<sup>3</sup> + 2s e y = s ln t, entonces las derivadas parciales | Si z = f (x, y) = x<sup>2</sup> y − y <sup>4</sup> x<sup>3</sup> donde x = t<sup>3</sup> + 2s e y = s ln t, entonces las derivadas parciales | ||
Revisión del 19:04 27 jul 2011
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Derivación de funciones compuestas. Para derivar funciones compuestas en una sola variablea se utliza la regla de la cadena, en el caso de funciones de más de una variable la regla de la cadena tiene varias versiones que dan la regla de diferenciación de la composición de funciones para diferentes casos.
Primer caso
Si z= f(x,y) es una función diferenciable de los argumentos x e y, que son a su vez funciones diferenciables de una variable independiente t
x = ð(t), y = φ(t)
La derivada de la función compuesta z = f[ð(t),φ(t)] se puede calcular por la fórmula:
Ejemplo 1
Si z = f (x, y) = x2 y − y4 x3 , donde x = t3 e y = ln t, la diferencial de z respecto de t será:
d͡z/d͡t = (2xy − 3y4x2)3t2 + (x2 − 4y3 x3)1/t
sustituyendo los valores de x e y como función de t :
d͡z/d͡t = (2t3ln t - 3(ln t)4t6)3t2 + (t6 − 4(ln t)3t9)1/t d͡z/d͡t = 6t5 ln t + t5 − 4 (ln t)3 t8 − 9(ln t)4 t8
Segundo caso
Si z es una función compuesta de varias variables independientes, por ejemplo, z = f(x,y) donde x = ð(s,t) e y = φ(s,t) s y t son variables independientes, f, ð y φ son funciones diferenciables, las derivadas parciales de z con respecto a s y t se expresan así:
Ejemplo 1
Si z = f (x, y) = x2 y − y 4 x3 donde x = t3 + 2s e y = s ln t, entonces las derivadas parciales de z respecto de s y t son:
d͡z/d͡s = (2xy − 3y4x2) 2 + (x2 − 4y3 x3)ln t
d͡z/d͡t= (2xy − 3y4x2)3t2 + (x2 − 4y3 x3)s/t
sustituyendo los valores de x = t3 + 2s e y = s ln t
d͡z/d͡s = 2 (2(t3 + 2s)sln t − (s ln t)4 (t3 + 2s)2 + ln t (t3 + 2s)2 − 4 (s ln t)3 (t3 + 2s)2</sup))
d͡z/d͡t = 3t2(2(t3 + 2s) - (s ln t)4 (t3 + 2s)2
Caso general
Si z es una función diferencial de n variables, x1 , x2 , ..., xn , donde estas a su vez son funciones diferenciables de m variables, t1 , t2 , ..., tm , entonces z es una función diferencial de t1 , t2 , ..., tm donde:
Fuente
- Cálculo. Roland Larson y otros.
- Cálculo Diferencial e Integral, Willian Granville y otros
