Gradiente de una función

Gradiente de una función Concepto: Es el vector cuyas proyecciones sobre los ejes de coordenadas son la correspondientes derivadas parciales de dicha función.

Gradiente de una función. Es el vector cuyas proyecciones sobre los ejes de coordenadas son las correspondientes derivadas parciales de dicha función.

Definición

Recibe el nombre de Gradiente de una función z= f(x,y), un vector cuyas proyecciones sobre los ejes de coordenadas son las correspondientes derivadas parciales de dicha función:

La derivada de una función en una dirección dada está relacionada con el gradiente de la misma por la siguiente fórmula:

Ejemplo

La derivada en esta dirección es igual a la pryección del gradiente de la función sobre la dirección que se deriva.

El gradiente de la función en cada punto tiene la dirección de la normal a la correpondiente línea de nivel de la función.

La dirección del gradiente de la función , en un punto dado , es la dirección de la velocidad máxima de crecimiento de la función en este punto, es decir, cuando ζ= grad z, la derivada ɗz/ɗζ toma su valor máximo igual a

Análogamente se determina el gradiente de una función de tres variables u = f(x,y,z)se utiliza la fórmula:

El gradiente de una función de tres variables, en cada punto lleva la dirección de la normal a la superficie de nivel que pasa por dicho punto.

Fuente

• Cálculo. Roland Larson y otros.
• Cálculo Diferencial e Integral, Willian Granville y otros.