Operaciones conmutativas

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En matemáticas, la propiedad conmutativa o conmutatividad es la propiedad de algunas operaciones en las que el resultado no varía al cambiar el orden de los elementos sobre los que se aplica. Esta propiedad se cumple, por ejemplo, en la suma y la multiplicación de los números reales: el orden de los sumandos no altera la suma y el orden de los factores no altera el producto.

En general, dado un grupo (A,*), la operación interna * es conmutativa si para cualquier par de elementos a y b de A se cumple que a*b = b*a.

Ejemplos

  • En los números reales, la suma y la multiplicación son operaciones conmutativas. Por ejemplo, 2 + 1 = 3 = 1 + 2 y 3·2 = 6 = 2·3.
  • En los números complejos, la suma y la multiplicación son operaciones conmutativas. Por ejemplo, (1 + i) - 2i = 1 - i = - 2i + (1 + i).
  • En el grupo de las matrices reales cuadradas, la suma es una operación conmutativa pero el producto no lo es.
  • La composición de funciones no es una operación conmutativa.

Casos diversos

En lógica proposicional
  1. La conjunción p y q es lo mismo que la proposición q y p.
  2. la disyunción inclusiva p o q ambas resulta igual que q o p o ambas
  3. la disyunción exclusiva p o q sólo una es lo mismo que q o p sólo una.
  4. la doble implicación p si solo q es lo mismo que q si solo si

La conmutatividad se comprueba mediante para cada operación mediante tabla de valores [1]

En teoría de conjuntos
  1. La unión de conjuntos A union B = B unión A
  2. la intersección de conjuntos A inter B = B inter A
  3. la diferencia simétrica A Δ B = B Δ A
Se demuestra que el conjunto del primer miembro es parte del conjunto del segundo miembro y viceversa, usando las proposiciones lógicas del caso. [2]
En sistemas numéricos
  1. En los números naturales : se cumple que a+b = b+a, se demuestra con la axiomática de Peano. [3]
  2. En los números enteros. Sean M = (a,b) y N =(c,d). Luego M+N = ( a+c, b+d) y N+M = (c+a, d+c) aplicando la conmutatividad aditiva de los naturales en los componentes de los pares ordenados representativos se cumple la propiedad conmutativa.
  3. En los números racionales L= (m,n) y H = (p,q). Se tiene L+H = (mq+np, nq); H+L = (pn+mq, qn), como en los pares ordenados figuran números enteros cumplen la propiedad conmutativa de la adición y multiplicación.
  4. En los números reales . Sean a, b, c y d cualesquiera números racionales tal que a≤x≤b , c≤y≤d siendo x e y números reales, la suma es tal que a+c≤x+y≤b+d. Con esta definición se prueba la propiedad conmutativa. [4]

Fuentes.

Referencias

  1. ↑ D. Hilbert y W. Ackermann: Elementos de lógica teórica
  2. ↑ Seymour Lipschutz: teoría de conjuntos y temas afines
  3. ↑ Algebra moderna de Schaumm
  4. ↑ V. Illin/ N Posniak: Fundamentos del análisis matemático I, editorial Mir Moscú 1982
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