Ecuación de segundo grado

Ecuaciones de Segundo Grado Concepto: Toda ecuación de la forma <math>ax^2 + b x + c = 0</math> (a, b, c Є R, a ≠ 0)

Ecuaciones de segundo grado. Toda ecuación de la forma ax²+bx+c=0 (a, b, c Є R, a ≠ 0) se denomina ecuación de segundo grado o cuadrática. Sin embargo, la ecuación ax²+bx+c=0, con coeficientes enteros y a diferente de cero, se llama ecuación algebraica; detalle importante para la definición de números algebraicos.

Resolución

Algunas ecuaciones de segundo grado se resuelven fácilmente aplicando la Descomposición factorial y la siguiente propiedad de los Números reales:

• Para todos los números reales a y b se cumple a • b = 0 si y solo si a = 0 o b = 0.

Formula de resolución de la ecuación de segundo grado

Considerando la ecuación general ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) se descompone en factores el miembro izquierdo, para ello se divide ambos miembros de la ecuación por a y se adiciona a cada uno la expresión (b/2a)² para transformar el miembro izquierdo en un trinomio cuadrado perfecto. x2 + bx/a = - c/a implica x2 + b/a x + (b/2a)2 = (b/2a)2 - c/a; Transformando en el primer y segundo miembros: (x + b/2a)² = (b² - 4ac)/4a2 ; pero b² - 4ac puede ser positivo, cero o negativo, luego denotemos D = b² - 4ac,-de se llama discriminante de la ecuación. Se consideran los casos siguientes:

• Caso 1: D > 0

Formula 1.jpg

Fórmula de resolución de la ecuación completa de segundo grado

• Caso 2: D = 0

(x + b/2a)² = 0 La solución de la ecuación es x_1,2 = - b/2a
( raíz doble)

• Caso 3: D < 0

En este caso el número b2 - 4ac es negativo y no es posible la extracción de su raíz cuadrada en el dominio de los números reales. Por consiguiente la ecuación ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) no tiene soluciones reales si D < 0.

Sin embrago se puede escribir x₁ = (-b +i |D |^1/2 )/2a , x₂ = (-b -i |D |^1/2 )/2a, donde i² = -1.Las dos raíces son números complejos conjugados.

Aun en el caso de que los coeficientes sean números complejos existen , exactamente, dos raíces complejas pero no son conjugados. Habrá que hallar raíz de un número complejo.

Algoritmo de resolución

Para resolver una ecuación cuadrática después de expresada ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0), puedes utilizar el algoritmo siguiente: 1. Identifica los cocientes a, b y c 2. Sustituye los valores en la formula del discriminante D = b2 - 4ac. 3. Si D < 0, entonces no posee soluciones reales y finaliza. 4. Si D = 0, entonces posee una sola solución x = - b/2ª

Ejemplos

Son ecuaciones de segundo grado los siguientes ejemplos

• x2 - 2x + 35 = 0
• 4x2 – 9 = 0
• 2x2 = 0

Hay ecuaciones que mediante transformaciones algebraicas se transforman en ecuaciones cuadráticas, por ejemplo

• x2 = x + 3
• 2x2 = 8
• (x - 2)(x + 1) = 10

Fuente

• Libro de texto Matemática 9no grado, Editorial Pueblo y Educación, 2001