Ecuación de segundo grado

Ecuación de Segundo Grado Concepto: Toda ecuación de la forma <math>ax^2 + b x + c = 0</math> (a, b, c Є R, a ≠ 0)

Ecuación de segundo grado. Toda ecuación de la forma ax²+bx+c=0 (a, b, c Є R, a ≠ 0) se denomina ecuación de segundo grado o cuadrática. La ecuación es completa si los tres coeficientes (a, b y c) son distintos de cero. Si algunos de los coeficientes b y c es igual a 0, entonces la ecuación es incompleta .

Resolución

Algunas ecuaciones de segundo grado se resuelven fácilmente aplicando la Descomposición factorial y la siguiente propiedad de los Números reales:

• Para todos los números reales a y b se cumple a • b = 0 si y solo si a = 0 o b = 0.

Formula de resolución de la ecuación de segundo grado

Las soluciones de una ecuación de segundo grado en la forma general ax² + bx + c = 0 vienen dadas por la fórmula cuadrática:

Al radicando de fórmula, D = b² - 4·a·c, se le denomina discriminante de la ecuación. El número (y tipo) de soluciones queda determinado por el signo del discriminante

Tipos de soluciones

• Caso 1: D > 0

Formula 1.jpg

Fórmula de resolución de la ecuación completa de segundo grado

• Caso 2: D = 0

(x + b/2a)² = 0 La solución de la ecuación es x_1,2 = - b/2a
( raíz doble)

• Caso 3: D < 0

En este caso el número b2 - 4ac es negativo y no es posible la extracción de su raíz cuadrada en el dominio de los números reales. Por consiguiente la ecuación ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) no tiene soluciones reales si D < 0.

Sin embargo, se puede escribir x₁ = (-b +i |D |^1/2 )/2a , x₂ = (-b -i |D |^1/2 )/2a, donde i² = -1.Las dos raíces son números complejos conjugados.

Aun en el caso de que los coeficientes sean números complejos existen , exactamente, dos raíces complejas pero no son conjugados. Habrá que hallar raíz de un número complejo.

Referencias

Algoritmo de resolución

Para resolver una ecuación cuadrática después de expresada ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0), puedes utilizar el algoritmo siguiente: 1. Identifica los cocientes a, b y c 2. Sustituye los valores en la formula del discriminante D = b2 - 4ac. 3. Si D < 0, entonces no posee soluciones reales y finaliza. 4. Si D = 0, entonces posee una sola solución x = - b/2ª

Ejemplos

Son ecuaciones de segundo grado los siguientes ejemplos

• x² - 2x + 35 = 0
• 4x² – 9 = 0
• 2x² = 0

Hay ecuaciones que mediante transformaciones algebraicas se transforman en ecuaciones cuadráticas, por ejemplo

• x² = x + 3
• 2x² = 8
• (x - 2)(x + 1) = 10

Fuente

• Libro de texto Matemática 9no grado, Editorial Pueblo y Educación, 2001