Ecuación de segundo grado

Ecuación de Segundo Grado Concepto: Toda ecuación de la forma <math>ax^2 + b x + c = 0</math> (a, b, c Є R, a ≠ 0)

Ecuación de segundo grado. Toda ecuación de la forma ax²+bx+c=0 (a, b, c Є R, a ≠ 0) se denomina ecuación de segundo grado o cuadrática. La ecuación es completa si los tres coeficientes (a, b y c) son distintos de cero. Si algunos de los coeficientes b y c es igual a 0, entonces la ecuación es incompleta .

Resolución

Algunas ecuaciones de segundo grado se resuelven fácilmente aplicando la Descomposición factorial y la siguiente propiedad de los Números reales:

• Para todos los números reales a y b se cumple a • b = 0 si y solo si a = 0 o b = 0.

Formula de resolución de la ecuación de segundo grado

Las soluciones de una ecuación de segundo grado en la forma general ax² + bx + c = 0 vienen dadas por la fórmula cuadrática:

Al radicando de fórmula, D = b² - 4·a·c, se le denomina discriminante de la ecuación. El número (y tipo) de soluciones queda determinado por el signo del discriminante

Tipos de soluciones

Las ecuaciones de segundo grado tienen siempre dos soluciones complejas (que a su vez pueden ser reales). En el caso de la ecuación con coeficientes reales, pueden darse las siguientes tres situaciones

Una solución

Si el discriminante es 0, D = 0, entonces las dos soluciones son reales e iguales, por lo que puede decirse que existe una única solución (de multiplicidad doble).

Dos soluciones (reales)

Si el discriminante es positivo, D > 0, entonces existen dos soluciones reales distintas (de multiplicidad 1).

Dos soluciones no reales

Si el discriminante es negativo, D < 0, entonces las dos soluciones son números complejos conjugados. Esto se debe al hecho de que la raíz cuadrada de un número negativo es un número complejo. Es común decir que la ecuación no tiene soluciones, refiriéndose a que la ecuación no tiene soluciones reales. En el caso de que los coeficientes sean números complejos, existen exactamente dos raíces complejas no conjugadas (habrá que hallar raíz de un número complejo).

Referencias

Algoritmo de resolución

Para resolver una ecuación cuadrática después de expresada ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0), puedes utilizar el algoritmo siguiente: 1. Identifica los cocientes a, b y c 2. Sustituye los valores en la formula del discriminante D = b2 - 4ac. 3. Si D < 0, entonces no posee soluciones reales y finaliza. 4. Si D = 0, entonces posee una sola solución x = - b/2ª

Ejemplos

Son ecuaciones de segundo grado los siguientes ejemplos

• x² - 2x + 35 = 0
• 4x² – 9 = 0
• 2x² = 0

Hay ecuaciones que mediante transformaciones algebraicas se transforman en ecuaciones cuadráticas, por ejemplo

• x² = x + 3
• 2x² = 8
• (x - 2)(x + 1) = 10

Fuente

• Libro de texto Matemática 9no grado, Editorial Pueblo y Educación, 2001