Anillo simple

Un anillo artiniano A se denomina simple cuando A ≠ 0 y cuando A no posee ideales biláteros propios; siendo así, los únicos ideales bilateros de A son 0 y A. . Por ser el radical de un anillo un ideal bilátero, se sigue que todo anillo simple es semisimple. Pero hay casos de anillos semisimples que no son simples. Sucede que un anillo simple A no es necesariamente un A-módulo a la izquierda (o a la derecha).

Afirmaciones

Proposición

Un anillo A es simple si, sólo si, A se descompone como suma directa de ideales a la izquierda minimales, todos isomorfos entre sí como A- módulo a la izquierda.

Consecuencia

Un anillo es semisimple si, solo si, es el producto directo de un número finito de anillos simples.

Lema

Sean A un anillo con división y M un A-módulo libre de rango n. Entonces el anillo End_{A} (M) de los A- endomorfismos de M es simple

Ejemplo

El lema precedente señala que si F es un campo conmutativo, el anillo A = M_n (F) de matrices cuadradas nxn con coeficientes en F es un anillo simple; o sea que no tiene otros ideales biláteros que 0 y A, aunque sí posee ideales a la izquierda no nulos propios. Ello expresa que A es simple como anillo, mas no como A-módulo a la izquierda.

Fuente bibliográfica

Álgebra abstracta: John B. FRALEIGH, Adison -Wesley-Iberoamericana , Wilmington, Delaware, E.U. A. (1987),