Método de inducción completa

Inducción Matemática Concepto: Razonamiento en que la conclusión general se obtiene a partir del estudio de todos los casos del fenómeno observado y tiene su validez garantizada. Un caso particular de ella es la inducción matemática.

Método de inducción matemática conlleva una posibilidad de pruebas de ciertas proposiciones cuyas variables recorren el conjunto N de todos los números naturales. Las pruebas toman como pivote demostrativo el principio de inducción completa. Razonamiento que permite demostrar una infinidad de proposiciones, o una proposición que depende de una variable en que toma una infinidad de valores enteros no negativos.

Definición

Este principio sirve para demostrar propiedades que se cumplen para un conjunto numerable de objetos (Un conjunto A es numerable si existe una biyección de A en el conjunto de los números naturales). Generalmente se usa la notación A(n), B(n), C(n), P (n), … para denotar estas propiedades.

Principio

El principio de inducción completa, en que se basa el método del mismo nombre, consiste en:

• 1ro. Probar que la propiedad se satisface para un primer número natural (P (a) es verdadera para a perteneciente a N).
• 2do. Probar que siempre que un número natural cualquiera satisfaga la propiedad, su sucesor también la satisface.(De P (k) se deduce P (k+1)).

Ejemplo

Demuestra por Inducción completa que para todos los números naturales n se cumple: 0 + 2 + 4 +…+ 2n = n(n + 1). Sea S(n) = 0 + 2 + 4 +…+ 2n. Se debe probar que S(n) = n(n + 1).

Inicio de Inducción: Para n = 0: S (0) = 0(0 + 1) = 0 La propiedad es verdadera para n = 0.

Hipótesis de inducción: Para n = k : 0 + 2 + 4 +…+ 2k = k(k + 1).

Tesis de inducción: Para n = k +1: 0 + 2 + 4 +…+ 2(k+1) = (k + 1)(k + 2).

Demostración de la tesis de inducción: Se debe probar que S (k)= k(k + 1) => S (k+1)= (k + 1)(k + 2) Partiendo de la hipótesis: 0 + 2 + 4 +…+ 2k = k(k + 1) Sumemos el término 2(k +1) a ambos miembros de la igualdad: 0 + 2 + 4 +…+ 2k + 2(k + 1) = k(k + 1) + 2(k + 1) Debemos analizar si en el miembro derecho la expresión: k(k + 1) + 2(k + 1)es la misma que (k + 1)(k + 2) 0 + 2 + 4 +…+ 2k + 2(k + 1) = k(k + 1) + 2(k + 1) 0 + 2 + 4 +… +2k+ 2(k + 1) = (k + 1)(k + 2) extrayendo factor común (k+1) Luego, la propiedad se cumple para todo n que pertenece a N.

Demostración de proposiciones de la Teoría de números

Demuestra por inducción completa que para todo numero natural n 3ⁿ – 1 es divisible por 2.

Inicio de inducción: Para n = 0  ; 3⁰ – 1 = 1 – 1 = 0 no se cumple la propiedad. Para n = 1, 3¹ – 1 = 2 es divisible por 2. Se cumple la propiedad. Elaborar de conjunto con los alumnos que si un número es divisible por 2, entonces es de la forma 2x, con x que pertenece a N.)

Hipótesis de inducción: Para n = k : 3^k – 1 = 2x.

Tesis de inducción: Para n = k + 1: 3^{k + 1} – 1 = 2.

Demostración de la tesis de inducción: 3^k – 1 = 2x Multiplicando por 3 ambos miembros, tenemos: 3·3^k-3 = 6x

3^k+1 = 3 + 6x

3^k+1 = 2 + 1 + 6x

3^{k + 1} – 1 = 2 + 6x

3^{k + 1} – 1 = 2 (1 + 3x)

3^{k + 1} – 1 = 2 y luego 3ⁿ – 1

Es divisible por 2 para todo n que pertenece a los números naturales distintos de cero.

Enlaces externos

• Inducción Matemática
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Fuentes

• Colectivo de autores. Matemática 12 grado parte I. Ministerio de Educación. 1991.
• I. S. Sominski: Método de inducción matemática; Editorial Mir, Moscú 1985, 2da. edición