Teorema de Euler
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Teorema de Euler. El teorema de Euler sobre funciones homogéneas, es una caracterización de las funciones homogéneas.
Definición
La función f(x,y) se llama Función Homogénea de grado n si para cualquier factor real K se verifica la igualdad
f(kx,ky) = kn f(x,y).
== Ejemplo 1 Diga si la función dada es homegenea y cual es el grado de homogenieda.
z = f ( x, y ) = x 2 + xy − y2
f (λx, λy ) = (λx )2 + (λx )(λy ) − (λy )2
λ2 x 2 + λ2 xy − λ2 y 2
= λ2 (x 2 + xy − y2 )
f (λx, λy ) = λ 2 f ( x, y )
Como la función z = f ( x, y ) cumple la definición, decimos que z es homogénea de grado 2 .
Teormea de Euler
Una función racional entera será homogénea, si todos los términos de la misma son del mismo grado.
Para toda función Homogenea diferenciable de grado n, se verifica siempre la igualdad (Teorema de Euler):
xf´x(x,y) + yf´y(x,y) = n f(x,y)
Ejemplo 2
Demuestra si la siguiente función cumple el teorema de Euler.
Fuente
- Cálculo. Roland Larson y otros.
- Cálculo Diferencial e Integral, Willian Granville y otros
