Adición y sustracción de números negativos
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Adición y sustracción de números negativos. Generalmente, los números negativos se utilizan para representar cantidades que se encuentran debajo de un punto de referencia especificado.
Los números negativos son necesarios para realizar operaciones como:
3 − 5 = ?
Cuando el minuendo es más pequeño que el sustraendo, parece que la resta no puede realizarse. Sin embargo, hay situaciones en las que es útil el concepto de números negativos.
Sumario
Reseña histórica
A pesar de que en la actualidad puedes encontrar números negativos representando diferentes situaciones en la vida cotidiana, debes conocer que su aparición fue bastante posterior a la de los números fraccionarios.
Tal aparición necesitaba de la existencia del cero, lo cual era algo ajeno a muchas culturas antiguas como los egipcios, romanos y griegos. La primera en usar el cero fue la civilización antigua hindú, pero hay otra civilización antigua que lo conocía, era la de los antiguos mayas.
Las cantidades negativas fueron utilizadas en China y en la India desde tiempos remotos, para ellos, la Matemática servía no sólo para representar cantidades de cosas concretas o distancias entre objetos sino, también para representar leyes universales que regían tanto el mundo material como el espiritual. Para los chinos, el mundo era un movimiento constante en busca del equilibrio entre fenómenos opuestos.
Operaciones de cálculo con números negativos
Los números enteros pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse, igual que puede hacerse con los números naturales.
Para realizar operaciones con números enteros, han de utilizarse paréntesis para facilitar la lectura de los cálculos y evitar errores. Por ejemplo, si queremos sumar los números −4 y + 3, no escribiremos:
−4 + + 3 sino (−4) + (+3)
A continuación describiremos en detalle los números racionales y sus operaciones.
Los números naturales 1, 2, 3,... son los números ordinarios que se utilizan para contar. Si les añadimos un signo menos «−» delante, obtenemos los números negativos.
El cero puede escribirse con signo más o menos indistintamente, porque sumar o restar cero es igual a no hacer nada, y por lo general se deja sin signo. Toda esta colección de números son los llamados "enteros".
Se ve con esta representación que los números negativos son más pequeños cuanto mayor es el número tras el signo. A este número se le llama el valor absoluto.
Valor absoluto
El valor absoluto de un número entero es el número natural que resulta de quitarle el signo. El valor absoluto de 0 es simplemente 0. Se representa por dos barras verticales "| |".
Ejemplo: |+5| = 5 , |−2| = 2 , |0| = 0.
Ahora puede entenderse como están ordenados los números negativos:
Para comparar dos números enteros distintos:
- Si tienen distintos signos, el que tiene el signo menos "−" es menor que el que tenga el signo más "+".
- Si tienen el mismo signo: Si el signo común es más "+", el que tiene el menor valor bsoluto es el menor.
- Si el signo común es menos "−", el que tiene el mayor valor absoluto es el menor.
- El cero es un caso especial: puede elegirse con signo "+" o "−" y el resultado no depende de ello. En resumen, el cero es menor que los números positivos y mayor que los números negativos.
Ejemplos:
Comparemos + 4 y −5: tienen signo distinto, por lo que el que tiene el signo "−" es el menor. Por tanto: −5 < + 4.
Comparemos + 3 y + 1: tienen el mismo signo, y este es "+", por lo que el que tiene el menor valor absoluto es el menor: + 1 < + 3.
Comparemos − 2 y −5: tienen el mismo signo, y este es "−", así que el que tiene el mayor valor absoluto es el menor: −5 < −2.
Comparemos 0 y + 3. Sabemos que el resultado es 0 < + 3, porque 0 es menor que todos los números positivos, pero podemos aplicar las reglas anteriores poniéndole signo al cero y el resultado será idéntico:
Si escribimos el 0 como + 0, ambos tienen el mismo signo, y el que tiene menor valor absoluto es el menor: + 0 < + 3.
Si escribimos el 0 como − 0, tienen signo distinto, y el que tiene el signo "−" es el menor: −0 < + 3.
Suma
En la suma de dos números enteros, determinamos por separado el signo y el valor absoluto del resultado.
Para sumar dos números enteros, determinamos el signo y el valor absoluto del resultado del siguiente modo:
Si ambos sumandos tienen el mismo signo
ese es también el signo del resultado, y su valor absoluto es la suma de los valores absolutos de los sumandos.
Si ambos sumandos tienen distinto signo el signo del resultado es el signo del sumando con mayor valor absoluto.
El valor absoluto del resultado es la diferencia entre el mayor valor absoluto y el menor valor absoluto, de entre los dos sumandos.
Ejemplos
(+4) + (−2). Tienen distinto signo, y + 4 es el que tiene mayor valor absoluto. El signo del resultado es entonces "+", y su valor absoluto es la diferencia 4 − 2 = 2.
O sea: (+4) + (−2) = + 2
(+1) + (+5). Tienen el mismo signo ("+"), así que el signo del resultado es "+" y el valor absoluto es la suma de los valores absolutos 1 + 5 = 6.
O sea: (+1) + (+5) = +6
(−6) + (+3). Tienen distinto signo, y es −6 el que tiene mayor valor absoluto, así que el signo del resultado es "−" y el valor absoluto es la diferencia 6 − 3 = 3.
O sea: (−6) + (+3) = −3.
(−4) + (−7). Tienen el mismo signo ("−"), luego el signo del resultado es también "−" y su valor absoluto es la suma de ambos 4 + 7 = 11.
O sea: (−4) + (−7) = −11.
Propiedades de la suma
Para realizar sumas de más de dos números enteros, debemos usar las propiedades de la suma, que son análogas a las propiedades de la suma de números naturales:
En la suma de números enteros cumplen las siguientes propiedades:
Propiedad asociativa:
- Para sumar tres números enteros en fila, pueden sumarse los dos primeros, y el resultado al tercero; o bien los dos últimos, y el resultado al primero. El resultado final no depende de ello.
Propiedad conmutativa:
- El orden de los sumandos no altera el resultado.
Ejemplo
Para sumar (−1) + (+7) + (−4), por la propiedad asociativa es indistinto empezar por los dos primeros o por los dos últimos:
Por el principio: (−1) + (+7) = + 6 , (+6) + (−4) = +2
Por el final: (+7) + (−4) = +3 , (−1) + (+3) = +2
En resumen, [ (−1) + (+7) ] + (−4) y (−1) + [ (+7) + (−4) ] son el mismo número, y los corchetes no son necesarios
(−1) + (+7) + (−4) = +2.
Para sumar (−5) + (+2), por la propiedad conmutativa, el orden de los sumandos es indiferente:
−5 tiene el mayor valor absoluto y la diferencia de valores absolutos es 5 − 2 = 3
(−5) + (+2) = −3.
Si nos presentan (+2) + (−5), el razonamiento es el mismo: −5 tiene el mayor valor absoluto y la diferencia de valores absolutos es 5 − 2 = 3: (+2) + (−5) = −3.
En resumen, cuando se hace una suma, el orden de los sumandos no tiene relevancia:
(−5) + (+2) = (+2) + (−5)
Resta
La resta de números enteros es muy sencilla, ya que ahora la tratamos como un caso particular de la suma.
La resta de dos números enteros (minuendo menos sustraendo) se realiza sumando el minuendo más el sustraendo cambiado de signo.
Ejemplos
(+10) − (−5) = (+10) + (+5) = +15
(−7) − (+6) = (−7) + (−6) = −13
(−4) − (−8) = (−4) + (+8) = +4
(+2) − (+9) = (+2) + (−9) = −7
En una resta donde el sustraendo es a su vez una suma de varios sumandos, es necesario realizar la suma primero, o bien cambiar el signo de cada sumando.
(+7) − [ (+10) + (−5) ]. Para realizar esta resta podemos:
Realizar la suma entre corchetes primero y después la resta: (+10) + (−5) = + 5 , (+7) − (+5) = (+7) + (−5) = +2.
Cambiar el signo de los sumandos, y realizar las sumas en el orden que queramos:
(+7) − [ (+10) + (−5) ] = (+7) + (−10) + (+5) = +2.
Cuando aparece un signo "−" delante de una expresión que encierra varios sumandos, este signo "−" puede convertirse en "+" cambiando también el signo de todos los sumandos dentro de la expresión.
Fuente
Libro de texto de Matemática de 7mo grado. Editorial Pueblo y Educación, 1989.
Referencias
- Notas acerca de la historia de los números. Disponible en: melodysoft.com. Consultada el 25 de abril de 2011.
- Temas de Matematica 8vo. Disponible en: www.rimed.cu. Consultada el 25 de abril de 2011.
- Diccionario matemático. Disponible en: www.rpdp.net. Consultada el 27 de abril de 2011.
