Aplicación de la derivada al análisis de funciones

Aplicación de la derivada al análisis de funciones

Aplicación de la derivada al análisis de funciones. Con el concepto de derivada se pueden estudiar algunas propiedades de carácter local de las funciones, el estudio de estas características nos facilitará la representación gráfica de las mismas.

Crecimiento y decrecimiento de las funciones en un intervalo

• Si f es una función derivable en el intervalo (a;b) y para cada x con a<x<b se cumple f ‘_(x) >0, entonces la función f es estrictamente creciente en el intervalo dado.

• Si f es una función derivable en el intervalo (a;b) y para cada x con a<x<b se cumple f ‘(x) < 0, entonces la función f es estrictamente decreciente en el intervalo dado.
  

Ejemplo:

Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función : y=¹/₃ x³ + x² + 1

Resolución
  Como y‘=x²+2x=x(x+2)

Se analiza el signo de la expresión x(x+2)

y‘ es positiva si x<-2 o si x>0

y‘ es negativa si -2<x<0

Por lo tanto la función es estrictamente creciente en los intervalos (-;-2) y (0;-) y decreciente en el intervalo (-2;0)

Extremos locales

Un punto x₀ es un extremo local (máximo o mínimo) de una función f, si el valor f(x₀) es mayor (máximo) o menor (mínimo) que todos los valores que toma la función en un intervalo del tipo (x₀-µ;x₀+µ).

Teorema

Para que una función derivable en x₀ tenga un extremo local en x₀ es neceario que se cumpla f ‘(x₀)=0.

Como el crecimiento está determinado por el signo de la derivada tenemos:

x₀ es un punto de 

• Máximo local si f ‘(x) pasa de positiva a negativa.
• Mínimo local si f ‘(x) pasa de negativa a positiva.

Ejemplo

Halla los extremos locales de la función : y=x³ -12x-4

Resolución

Como y‘= 3x²-12= 3(x²-4)=0

Los ceros de y‘ son x=2 y x=-2. Al analizar el signo de y‘ encontramos

y‘ > 0 en (-;-2) y (2;+)

y‘< 0 en (-2; 2), luego en x=-2 y‘ pasa de valores positivos a negativos, se trata de un máximo que es y_max=f(-2)=12.
En x=2 y‘ pasa de valores negativos a positivos, se trata de un máximo que es y_min=f(2)=-20.

Teorema de la segunda derivada

Sea f una función dos veces derivable en x₀.

Si f ‘(x₀)=0 y f ‘‘(x₀) 0 entonces f  tiene un extremo local en x₀

Si f “(x₀) >0 el extremo es un mínimo local.

Si f “(x₀) <0 el extremo es un máximo local.

Ejemplo:

Utilice el criterio de la segunda derivada para encontrar los extremos de la función indicada:

f(x) = x³ – 6x² – 15x

Solución:

f´(x) = 3 x² – 12 x – 15 = 0                   ⇒ Puntos críticos: x₁ = -1 y x₂ = 5

f´´(x) = 6x – 12     ⇒ f ´´(-1) = -18 < 0     ⇒ en x₁ = -1 se tiene un máximo de f.

⇒ f´´(5) = 18 > 0                                  ⇒ en x₂ = 5 se tiene in mínimo de f.

Concavidad y convexidad de una función

Una función es cóncava si fijado un vector unitario en el semieje positivo OY, dicho vector está en el mismo semiplano (determinado por las rectas tangentes a la función) que la función. En caso contrario (distintos semiplanos) se dice convexa.

Condiciones analíticas de concavidad y convexidad

Si f “(x) >0 en un intervalo (a, b), entonces la función f(x) es cóncava en el intervalo (a, b).

Si f “(x) < 0 en un intervalo (a, b), entonces la función f(x) es convexa en el intervalo (a, b).

Ejemplo: f(x)=x³-3x²+6x-6

f ‘(x)=3x²-6x+6

f “(x)=6x-6

6x-6 >0    ⇒ x>1 cóncova (1;)
6x-6 <0    ⇒ x<1 convexa (-;1)

Puntos de inflexión

Un punto de inflexión es un punto donde los valores de x de una función continua pasa de un tipo de concavidad a otro.

Teorema

Sea y= f(x) la ecuación de una función.

Si f “(a) = 0 o f “(a) no existe, y la derivada f “(x) cambia de signo al pasar por el valor de x=a, entonces, el punto de la función de abscisa x=a es un punto de inflexión.

Ejemplo: f(x)=x³-3x²+6x-6

f ‘(x)=3x²-6x+6

f “(x)=6x-6

6x-6 =0    ⇒ x=1

El punto x=1 es un punto de inflexión, puesto que antes de x=1 la derivada segunda es negativa (convexa) y después de x=1 es positiva (cóncava).

Otras aplicaciones de la derivada

Cálculo aproximado de los valores de una función

La introducción de la derivación nos permite hacer cálculos apróximados más precisos para las funciones derivables, siempre que se escoja x suficientemente pequeño y se utilice la siguiente fórmula básica.

f(x₀+x) ≈ f(x₀)+ x.f ‘(x₀)

Ejemplo

Calcula aproximadamente 

Resolución

Para aplicar la fórmula debemos encontrar un x₀ próximo a 38 en el cual se pueda calcular con exactitud ; en este caso x₀=36 conviene.

Entonces =                   , x₀=36, x=2

Entonces la expresión f(x₀+x) ≈ f(x₀)+ x.f ‘(x₀) adquiere la forma =≈

En la tabla de cuadrados la =6,16; el error es menor que 0,01.

Fuente

Libro de texto Matemática onceno grado

Puntos de inflexión

Véase también

• Derivada de una función
  
• Derivadas implícitas
  
• Optimización de funciones