Bisectriz
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La bisectriz de un ángulo es la recta que divide a un ángulo en dos partes iguales. Es el lugar geométrico de todos los puntos del plano que están a la misma distancia de los rayos que forman un ángulo o de las prolongaciones de los mismos [1]
Sumario
Características
Cualquier punto de la bisectriz es equidistante de los dos lados del ángulo. Recíprocamente, dos rectas, al intersecarse, determinan cuatro ángulos y cada uno de ellos determina una bisectriz. Estas bisectrices resultan ser el lugar geométrico de los puntos equidistantes.
La bisectriz de un ángulo, cuya medida es ≠ 0, y sus dos lados tienen un punto común: el vértice del ángulo.
Las tres bisectrices de los ángulos internos de un triángulo, dado por las semirrectas L,M,N se cortan en un único punto que equidista de los lados. Este punto (O) es el centro de la circunferencia inscrita al triángulo. Esta circunferencia es tangente a cada uno de los lados del triángulo.
Propiedades de la bisectriz
Considere el triángulo ABC y la circunferencia circunscrita. La mediatriz MN, del lado BC corta el arco BMC en su punto medio. Como el ángulo inscrito BAC subtiende dicho arco, los ángulos BAM y MAC son iguales y la recta AM resulta ser la bisectriz del ángulo BAC. Las rectas AN y AM son ortogonales, porque el lado MN del triángulo AMN es diámetro de la circunferencia y el vértice A se halla sobre dicha circunferencia. La recta AN es bisectriz del ángulo exterior al triángulo ABC en el vértice A. Por lo anteriormente expuesto, se puede decir: La mediatriz de un lado de un triángulo y las bisectrices del ángulo opuesto se intersecan sobre la circunferencia circunscrita. Este hecho se usa en la discusión de la circunferencia de los nueve puntos.
Trazado de la bisectriz
Un método acertado para trazar la bisectriz de un ángulo, consiste en trazar una circunferencia de radio r con centro en el vértice del triángulo ABC, luego se trazan dos circunferencias con centro en P y K, posteriormente se traza una semirrecta M desde el vértice del triángulo que pase por los puntos de intercesión de las dos circunferencias de centro en P,K .
Aplicación de la bisectriz en triángulos
Las tres bisectrices de los ángulos internos de un triángulo se cortan en un único punto, que equidista de los lados. Este punto se llama el incentro del triángulo y es el centro de la circunferencia inscrita al triángulo. Esta circunferencia es tangente a cada uno de los lados del triángulo.
Demostración: Dos bisectrices del triángulo no pueden ser paralelas. Sea O la intersección de las bisectrices D y D' (ver figura). Como O pertenece a D, es equidistante de las rectas (AB) y (AC). Como O pertenece a D', entonces también equidista de las rectas (AB) y (BC). Por transitividad de la igualdad, es equidistante de (AC) y (BC), y pertenece a la bisectriz (interior) del ángulo C, es decir a D". Al ser equidistante a los tres lados. Se sigue que la circunferencia cuyo radio sea justamente la distancia común del punto O a los lados del triángulo es tangente a cada uno de los lados.
Longitud de bisectriz
La longitud de la bisectriz del ángulo A, en el triángulo ABC, es lA = {bc[ (b+c)2 - a2]}1/2/(b + c) [2]
